如图，抛物线y34x2bxc与x轴交于点A和点C(1,0)，

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度困难
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如图，抛物线 $y = - \frac{3}{4} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $C (- 1, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B (0, 3)$ ，连接 $AB$ ， $BC$ ，点 $P$ 是抛物线第一象限上的一动点，过点 $P$ 作 $PD ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，交 $AB$ 于点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，作 $PF ⊥ PD$ 于点 $P$ ，使 $PF = \frac{1}{2} OA$ ，以 $PE$ ， $PF$ 为邻边作矩形 $PEGF$ ．当矩形 $PEGF$ 的面积是 $ΔBOC$ 面积的3倍时，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，当点 $P$ 运动到抛物线的顶点时，点 $Q$ 在直线 $PD$ 上，若以点 $Q$ 、 $A$ 、 $B$ 为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点 $Q$ 纵坐标 $n$ 的取值范围．

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小华同学学习函数知识后，对函数 $y = \{\begin{matrix} 4 x^{2} (- 1 ＜ x \leq 0) \\ - \frac{4}{x} (x \leq - 1 或 x ＞ 0) \end{matrix}$ 通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．

…

$﹣ 4$

$﹣ 3$

﹣ 2

$﹣ 1$

$- \frac{3}{4}$

$- \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{4}$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

…

$1$

$\frac{4}{3}$

$2$

$4$

$\frac{9}{4}$

$1$

$\frac{1}{4}$

$0$

﹣4

$﹣ 2$

$- \frac{4}{3}$

$﹣ 1$

…

请根据图象解答：

（1）【观察发现】

①写出函数的两条性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

②若函数图象上的两点 $（ x_{1} ， y_{1} ），（ x_{2} ， y_{2} ）$ 满足 $x_{1} + x_{2} ＝ 0$ ，则 $y_{1} + y_{2} ＝ 0$ 一定成立吗？　＿＿＿＿＿．（填“一定”或“不一定”）

（2）【延伸探究】如图2，将过 $A （ ﹣ 1 ， 4 ）， B （ 4 ， ﹣ 1 ）$ 两点的直线向下平移 $n$ 个单位长度后，得到直线 $l$ 与函数 $y = - \frac{4}{x} （ x \leq ﹣ 1 ）$ 的图象交于点 $P$ ，连接 $P A ， P B$ ．

①求当 $n ＝ 3$ 时，直线 $l$ 的解析式和 $△ P A B$ 的面积；

②直接用含 $n$ 的代数式表示 $△ P A B$ 的面积．

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等级	成绩（ $x$ ）	人数
A	$90 ＜ x \leq 100$	$m$
B	$80 ＜ x \leq 90$	$24$
C	70＜x≤80	$14$
D	$x \leq 70$	$10$

根据图表信息，回答下列问题：

（1）表中 $m ＝$ ＿＿＿＿＿；扇形统计图中， $B$ 等级所占百分比是＿＿＿＿＿， $C$ 等级对应的扇形圆心角为＿＿＿＿＿度；

（2）若全校有 $1400$ 人参加了此次选拔赛，则估计其中成绩为 $A$ 等级的共有＿＿＿＿＿人；

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