在平面直角坐标系中，抛物线 $y=2{(x-m)}^2+2m(m$ 为常数）的顶点为 $A$ ．

（1）当 $m=\frac{1}{2}$ 时，点 $A$ 的坐标是 　　，抛物线与 $y$ 轴交点的坐标是 　　；

（2）若点 $A$ 在第一象限，且 $\mathit{OA}=\sqrt{5}$ ，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时 $x$ 的取值范围；

（3）当 $x⩽2m$ 时，若函数 $y=2{(x-m)}^2+2m$ 的最小值为3，求 $m$ 的值；

（4）分别过点 $P(4,2)$ 、 $Q(4,2-2m)$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线的对称轴于点 $M$ 、 $N$ ．当抛物线 $y=2{(x-m)}^2+2m$ 与四边形 $\mathit{PQNM}$ 的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点 $B$ 、点 $C$ ，且点 $B$ 的纵坐标大于点 $C$ 的纵坐标．若点 $B$ 到 $y$ 轴的距离与点 $C$ 到 $x$ 轴的距离相等，直接写出 $m$ 的值．