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  • 更新 2022-09-04
  • 科目 数学
  • 题型 解答题
  • 难度 较难
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二次函数 y = x 2 - 2 mx 的图象交 x 轴于原点 O 及点 A

感知特例

(1)当 m = 1 时,如图1,抛物线 L : y = x 2 - 2 x 上的点 B O C A D 分别关于点 A 中心对称的点为 B ' O ' C ' A ' D ' ,如表:

B ( - 1 , 3 )

O ( 0 , 0 )

C ( 1 , - 1 )

A (      )

D ( 3 , 3 )

B ' ( 5 , - 3 )

O ' ( 4 , 0 )

C ' ( 3 , 1 )

A ' ( 2 , 0 )

D ' ( 1 , - 3 )

①补全表格;

②在图1中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为 L '

形成概念

我们发现形如(1)中的图象 L ' 上的点和抛物线 L 上的点关于点 A 中心对称,则称 L ' L 的“孔像抛物线”.例如,当 m = - 2 时,图2中的抛物线 L ' 是抛物线 L 的“孔像抛物线”.

探究问题

(2)①当 m = - 1 时,若抛物线 L 与它的“孔像抛物线” L ' 的函数值都随着 x 的增大而减小,则 x 的取值范围为   

②在同一平面直角坐标系中,当 m 取不同值时,通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 y = x 2 - 2 mx 的所有“孔像抛物线” L ' 都有唯一交点,这条抛物线的解析式可能是   (填“ y = a x 2 + bx + c ”或“ y = a x 2 + bx ”或“ y = a x 2 + c ”或“ y = a x 2 ”,其中 abc 0 )

③若二次函数 y = x 2 - 2 mx 及它的“孔像抛物线”与直线 y = m 有且只有三个交点,求 m 的值.

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二次函数yx22mx的图象交x轴于原点O及点A.感知特例(1