二次函数 y=x2-2mx的图象交 x轴于原点 O及点 A.
感知特例
(1)当 m=1时,如图1,抛物线 L:y=x2-2x上的点 B, O, C, A, D分别关于点 A中心对称的点为 B', O', C', A', D',如表:
… |
B(-1,3) |
O(0,0) |
C(1,-1) |
A( , ) |
D(3,3) |
… |
… |
B'(5,-3) |
O'(4,0) |
C'(3,1) |
A'(2,0) |
D'(1,-3) |
… |
①补全表格;
②在图1中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为 L'.
形成概念
我们发现形如(1)中的图象 L'上的点和抛物线 L上的点关于点 A中心对称,则称 L'是 L的“孔像抛物线”.例如,当 m=-2时,图2中的抛物线 L'是抛物线 L的“孔像抛物线”.
探究问题
(2)①当 m=-1时,若抛物线 L与它的“孔像抛物线” L'的函数值都随着 x的增大而减小,则 x的取值范围为 ;
②在同一平面直角坐标系中,当 m取不同值时,通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 y=x2-2mx的所有“孔像抛物线” L'都有唯一交点,这条抛物线的解析式可能是 (填“ y=ax2+bx+c”或“ y=ax2+bx”或“ y=ax2+c”或“ y=ax2”,其中 abc≠0);
③若二次函数 y=x2-2mx及它的“孔像抛物线”与直线 y=m有且只有三个交点,求 m的值.