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  • 更新 2022-09-04
  • 科目 数学
  • 题型 解答题
  • 难度 较难
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二次函数 y=x2-2mx的图象交 x轴于原点 O及点 A

感知特例

(1)当 m=1时,如图1,抛物线 L:y=x2-2x上的点 BOCAD分别关于点 A中心对称的点为 B'O'C'A'D',如表:

B(-1,3)

O(0,0)

C(1,-1)

A(     )

D(3,3)

B'(5,-3)

O'(4,0)

C'(3,1)

A'(2,0)

D'(1,-3)

①补全表格;

②在图1中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为 L'

形成概念

我们发现形如(1)中的图象 L'上的点和抛物线 L上的点关于点 A中心对称,则称 L'L的“孔像抛物线”.例如,当 m=-2时,图2中的抛物线 L'是抛物线 L的“孔像抛物线”.

探究问题

(2)①当 m=-1时,若抛物线 L与它的“孔像抛物线” L'的函数值都随着 x的增大而减小,则 x的取值范围为   

②在同一平面直角坐标系中,当 m取不同值时,通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 y=x2-2mx的所有“孔像抛物线” L'都有唯一交点,这条抛物线的解析式可能是   (填“ y=ax2+bx+c”或“ y=ax2+bx”或“ y=ax2+c”或“ y=ax2”,其中 abc0)

③若二次函数 y=x2-2mx及它的“孔像抛物线”与直线 y=m有且只有三个交点,求 m的值.

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二次函数yx22mx的图象交x轴于原点O及点A.感知特例(1