如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4$ 交 $x$ 轴于 $A(-1,0)$ 、 $B(4,0)$ 两点，交 $y$ 轴于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点 $P$ 为第四象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{PB}$ ，过点 $C$ 作 $\mathit{CQ}//\mathit{BP}$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $\mathit{PQ}$ ，求 $\mathit{\Delta PBQ}$ 面积的最大值及此时点 $P$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-4$ 向右平移经过点 $(\frac{1}{2}$ ， $0)$ 时，得到新抛物线 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1$ ，点 $E$ 在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点 $F$ ，使得以 $A$ 、 $P$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

参考：若点 $P_1(x_1$ ， $y_1)$ 、 $P_2(x_2$ ， $y_2)$ ，则线段 $P_1{P}_2$ 的中点 $P_0$ 的坐标为 $(\frac{x_1+x_2}{2}$ ， $\frac{y_1+y_2}{2})$ ．