如图,抛物线 与 轴交于 、 两点,与 轴交于 点, , .
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限内的抛物线上确定一点 ,使四边形 的面积最大,求出点 的坐标;
(3)在(2)的结论下,点 为 轴上一动点,抛物线上是否存在一点 ,使点 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出 点的坐标;若不存在,请说明理由.
综合与探究
如图,抛物线 与 轴交于 , 两点(点 在点 的左侧),与 轴交于点 ,连接 , .
(1)求 、 , 三点的坐标并直接写出直线 , 的函数表达式.
(2)点 是直线 下方抛物线上的一个动点,过点 作 的平行线 ,交线段 于点 .
①试探究:在直线 上是否存在点 ,使得以点 , , , 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点 的坐标,若不存在,请说明理由;
②设抛物线的对称轴与直线 交于点 ,与直线 交于点 .当 时,请直接写出 的长.
已知二次函数 .
(1)当该二次函数的图象经过点 时,求该二次函数的表达式;
(2)在(1)的条件下,二次函数图象与 轴的另一个交点为点 ,与 轴的交点为点 ,点 从点 出发在线段 上以每秒2个单位长度的速度向点 运动,同时点 从点 出发,在线段 上以每秒1个单位长度的速度向点 运动,直到其中一点到达终点时,两点停止运动,求 面积的最大值;
(3)若对满足 的任意实数 ,都使得 成立,求实数 的取值范围.
如图,在平面直角坐标系中,二次函数 的图象经过点 ,点 .
(1)求此二次函数的解析式;
(2)当 时,求二次函数 的最大值和最小值;
(3)点 为此函数图象上任意一点,其横坐标为 ,过点 作 轴,点 的横坐标为 .已知点 与点 不重合,且线段 的长度随 的增大而减小.
①求 的取值范围;
②当 时,直接写出线段 与二次函数 的图象交点个数及对应的 的取值范围.
如图,已知二次函数的图象与 轴交于 和 两点,与 轴交于 ,对称轴为直线 ,直线 经过点 ,且与 轴交于点 ,与抛物线交于点 ,与对称轴交于点 .
(1)求抛物线的解析式和 的值;
(2)在 轴上是否存在点 ,使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似,若存在,求出点 的坐标;若不存在,试说明理由;
(3)直线 上有 、 两点 在 的左侧),且 ,若将线段 在直线 上平移,当它移动到某一位置时,四边形 的周长会达到最小,请求出周长的最小值(结果保留根号).
已知二次函数 的图象开口向上,且经过点 , .
(1)求 的值(用含 的代数式表示);
(2)若二次函数 在 时, 的最大值为1,求 的值;
(3)将线段 向右平移2个单位得到线段 .若线段 与抛物线 仅有一个交点,求 的取值范围.
如图,已知抛物线 与 轴交于点 和 ,与 轴交于点 ,对称轴为直线 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,若点 是线段 上的一个动点(不与点 , 重合),过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ,连接 ,当线段 长度最大时,判断四边形 的形状并说明理由;
(3)如图2,在(2)的条件下, 是 的中点,过点 的直线与抛物线交于点 ,且 .在 轴上是否存在点 ,得 为等腰三角形?若存在,求点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 经过坐标原点,与 轴正半轴交于点 ,点 是抛物线上一动点.
(1)如图1,当 , ,且 时,
①求点 的坐标;
②若点 , 在该抛物线上,连接 , , 是线段 上一动点(点 与点 , 不重合),过点 作 ,交 轴于点 ,线段 与 是否相等?请说明理由;
(2)如图2,该抛物线的对称轴交 轴于点 ,点 在对称轴上,当 , ,且直线 交 轴的负半轴于点 时,过点 作 轴的垂线,交直线 于点 , 为 轴上一点,点 的坐标为 ,连接 .若 ,求证:射线 平分 .
如图,在平面直角坐标系 中,抛物线 与两坐标轴分别相交于 , , 三点.
(1)求证: ;
(2)点 是第一象限内该抛物线上的动点,过点 作 轴的垂线交 于点 ,交 轴于点 .
①求 的最大值;
②点 是 的中点,若以点 , , 为顶点的三角形与 相似,求点 的坐标.
如图,直线 分别交 轴、 轴于点 , ,过点 的抛物线 与 轴的另一交点为 ,与 轴交于点 ,抛物线的对称轴 交 于点 ,连接 交 于点 .
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证: ;
(3) 为抛物线上的一动点,直线 交 于点 ,是否存在这样的点 ,使以 , , 为顶点的三角形与 相似?若存在,求点 的横坐标;若不存在,请说明理由.
已知二次函数 .
(1)若 , ,求方程 的根的判别式的值;
(2)如图所示,该二次函数的图象与 轴交于点 , 、 , ,且 ,与 轴的负半轴交于点 ,点 在线段 上,连接 、 ,满足 , .
①求证: ;
②连接 ,过点 作 于点 ,点 在 轴的负半轴上,连接 ,且 ,求 的值.
在平面直角坐标系中,抛物线 为常数)的顶点为 .
(1)当 时,点 的坐标是 ,抛物线与 轴交点的坐标是 ;
(2)若点 在第一象限,且 ,求此抛物线所对应的二次函数的表达式,并写出函数值 随 的增大而减小时 的取值范围;
(3)当 时,若函数 的最小值为3,求 的值;
(4)分别过点 、 作 轴的垂线,交抛物线的对称轴于点 、 .当抛物线 与四边形 的边有两个交点时,将这两个交点分别记为点 、点 ,且点 的纵坐标大于点 的纵坐标.若点 到 轴的距离与点 到 轴的距离相等,直接写出 的值.
如图,在平面直角坐标系中,抛物线 经过坐标原点,与 轴正半轴交于点 ,点 是抛物线上一动点.
(1)如图1,当 , ,且 时,
①求点 的坐标;
②若点 , 在该抛物线上,连接 , , 是线段 上一动点(点 与点 , 不重合),过点 作 ,交 轴于点 ,线段 与 是否相等?请说明理由;
(2)如图2,该抛物线的对称轴交 轴于点 ,点 在对称轴上,当 , ,且直线 交 轴的负半轴于点 时,过点 作 轴的垂线,交直线 于点 , 为 轴上一点,点 的坐标为 ,连接 .若 ,求证:射线 平分 .
如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 交 轴于 、 两点,交 轴于点 .
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点 为第四象限内抛物线上一点,连接 ,过点 作 交 轴于点 ,连接 ,求 面积的最大值及此时点 的坐标;
(3)在(2)的条件下,将抛物线 向右平移经过点 , 时,得到新抛物线 ,点 在新抛物线的对称轴上,在坐标平面内是否存在一点 ,使得以 、 、 、 为顶点的四边形为矩形,若存在,请写出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
参考:若点 , 、 , ,则线段 的中点 的坐标为 , .