初中数学二次函数的性质试题

设抛物线 $y=x^2+(a+1)x+a$，其中 $a$为实数．

（1）若抛物线经过点 $(-1,m)$，则 $m=$　　；

（2）将抛物线 $y=x^2+(a+1)x+a$向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是　　．

直线 $l$ 过点 $(0,4)$ 且与 $y$ 轴垂直，若二次函数 $y={(x-a)}^2+{(x-2a)}^2+{(x-3a)}^2-2a^2+a$ （其中 $x$ 是自变量）的图象与直线 $l$ 有两个不同的交点，且其对称轴在 $y$ 轴右侧，则 $a$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A．

$a>4$

B．

$a>0$

C．

$0<a⩽4$

D．

$0<a<4$

已知抛物线 $y=a{x}^2+c(a\ne 0)$ 经过点 $P(3,0)$ 、 $Q(1,4)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $A$ 在直线 $\mathit{PQ}$ 上，过点 $A$ 作 $\mathit{AB}\perp x$ 轴于点 $B$ ，以 $\mathit{AB}$ 为斜边在其左侧作等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$ ．

①当 $Q$ 与 $A$ 重合时，求 $C$ 到抛物线对称轴的距离；

②若 $C$ 在抛物线上，求 $C$ 的坐标．

已知抛物线 $y=-x^2+2x+8$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求点 $B$、 $C$的坐标；

（2）设点 $C\text{'}$与点 $C$关于该抛物线的对称轴对称．在 $y$轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PCC}\text{'}$与 $\mathit{\Delta POB}$相似，且 $\mathit{PC}$与 $\mathit{PO}$是对应边？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过坐标原点和点 $A$ ，顶点为点 $M$ ．

（1）求抛物线的关系式及点 $M$ 的坐标；

（2）点 $E$ 是直线 $\mathit{AB}$ 下方的抛物线上一动点，连接 $\mathit{EB}$ ， $\mathit{EA}$ ，当 $\mathit{\Delta EAB}$ 的面积等于 $\frac{25}{2}$ 时，求 $E$ 点的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$ 向下平移，得到过点 $M$ 的直线 $y=\mathit{mx}+n$ ，且与 $x$ 轴负半轴交于点 $C$ ，取点 $D(2,0)$ ，连接 $\mathit{DM}$ ，求证： $\angle \mathit{ADM}-\angle \mathit{ACM}=45°$ ．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$ 的部分图象如图所示，对称轴为 $x=\frac{1}{2}$ ，且经过点 $(2,0)$ ．下列说法：① $\mathit{abc}<0$ ；② $-2b+c=0$ ；③ $4a+2b+c<0$ ；④若 $(-\frac{1}{2}$ ， $y_1)$ ， $(\frac{5}{2}$ ， $y_2)$ 是抛物线上的两点，则 $y_1<y_2$ ；⑤ $\frac{1}{4}b+c>m(\mathit{am}+b)+c$ （其中 $m\ne \frac{1}{2})$ ．正确的结论有 $($ 　　 $)$

A．

2个

B．

3个

C．

4个

D．

5个

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2+2\mathit{mx}+2m^2-m$的顶点为 $A$．

（1）求顶点 $A$的坐标（用含有字母 $m$的代数式表示）；

（2）若点 $B(2,y_B)$， $C(5,y_C)$在抛物线上，且 $y_B>y_C$，则 $m$的取值范围是 　 $m<-3.5$　；（直接写出结果即可）

（3）当 $1⩽x⩽3$时，函数 $y$的最小值等于6，求 $m$的值．

二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4(a\ne 0)$ 的图象经过点 $A(-4,0)$ ， $B(1,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $P$ 为第二象限内抛物线上一点，连接 $\mathit{BP}$ 、 $\mathit{AC}$ ，交于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PD}\perp x$ 轴于点 $D$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$ ，当 $\angle \mathit{DPB}=2\angle \mathit{BCO}$ 时，求直线 $\mathit{BP}$ 的表达式；

（3）请判断： $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{QB}}$ 是否有最大值，如有请求出有最大值时点 $P$ 的坐标，如没有请说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 过 $B$ 、 $C$ 两点，连接 $\mathit{AC}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证： $\mathit{\Delta AOC}\backsim \mathit{\Delta ACB}$ ；

（3）点 $M(3,2)$ 是抛物线上的一点，点 $D$ 为抛物线上位于直线 $\mathit{BC}$ 上方的一点，过点 $D$ 作 $\mathit{DE}\perp x$ 轴交直线 $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ，点 $P$ 为抛物线对称轴上一动点，当线段 $\mathit{DE}$ 的长度最大时，求 $\mathit{PD}+\mathit{PM}$ 的最小值．

已知抛物线 $y=x^2-2x-3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧）与 $y$轴交于点 $C$，点 $D(4,y)$在抛物线上， $E$是该抛物线对称轴上一动点，当 $\mathit{BE}+\mathit{DE}$的值最小时， $\mathit{\Delta ACE}$的面积为 　　．

已知抛物线 $y=x^2-2x-3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧）与 $y$轴交于点 $C$，点 $D(4,y)$在抛物线上， $E$是该抛物线对称轴上一动点，当 $\mathit{BE}+\mathit{DE}$的值最小时， $\mathit{\Delta ACE}$的面积为 　　．

已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与 $x$ 轴交于两点 $(m,0)$ ， $(n,0)$ ，且过 $A(0,b)$ ， $B(3,a)$ 两点 $(b$ ， $a$ 是实数），若 $0<m<n<2$ ，则 $\mathit{ab}$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A．

$0<\mathit{ab}<\frac{41}{8}$

B．

$0<\mathit{ab}<\frac{19}{8}$

C．

$0<\mathit{ab}<\frac{81}{16}$

D．

$0<\mathit{ab}<\frac{49}{16}$

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $(-3,0)$ 、 $B(1,0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，对称轴 $l$ 与 $x$ 轴交于点 $F$ ，直线 $m//\mathit{AC}$ ，点 $E$ 是直线 $\mathit{AC}$ 上方抛物线上一动点，过点 $E$ 作 $\mathit{EH}\perp m$ ，垂足为 $H$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，连接 $\mathit{AE}$ 、 $\mathit{EC}$ 、 $\mathit{CH}$ 、 $\mathit{AH}$ ．

（1）抛物线的解析式为 　　；

（2）当四边形 $\mathit{AHCE}$ 面积最大时，求点 $E$ 的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接 $\mathit{EF}$ ，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得以 $F$ 、 $E$ 、 $P$ 、 $Q$ 为顶点，以 $\mathit{EF}$ 为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点 $Q$ 的坐标；若不存在，说明理由．

二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}$的图象交 $x$轴于原点 $O$及点 $A$．

感知特例

（1）当 $m=1$时，如图1，抛物线 $L:y=x^2-2x$上的点 $B$， $O$， $C$， $A$， $D$分别关于点 $A$中心对称的点为 $B\text{'}$， $O\text{'}$， $C\text{'}$， $A\text{'}$， $D\text{'}$，如表：

$\dots$	$B(-1,3)$	$O(0,0)$	$C(1,-1)$	$A($　　，　　 $)$	$D(3,3)$	$\dots$
$\dots$	$B^{\text{'}}(5,-3)$	$O\text{'}(4,0)$	$C^{\text{'}}(3,1)$	$A\text{'}(2,0)$	$D^{\text{'}}(1,-3)$	$\dots$

①补全表格；

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为 $L^{\text{'}}$．

形成概念

我们发现形如（1）中的图象 $L^{\text{'}}$上的点和抛物线 $L$上的点关于点 $A$中心对称，则称 $L^{\text{'}}$是 $L$的“孔像抛物线”．例如，当 $m=-2$时，图2中的抛物线 $L^{\text{'}}$是抛物线 $L$的“孔像抛物线”．

探究问题

（2）①当 $m=-1$时，若抛物线 $L$与它的“孔像抛物线” $L^{\text{'}}$的函数值都随着 $x$的增大而减小，则 $x$的取值范围为 　　；

②在同一平面直角坐标系中，当 $m$取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}$的所有“孔像抛物线” $L^{\text{'}}$都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是 　　（填“ $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$”或“ $y=a{x}^2+\mathit{bx}$”或“ $y=a{x}^2+c$”或“ $y=a{x}^2$”，其中 $\mathit{abc}\ne 0)$；

③若二次函数 $y=x^2-2\mathit{mx}$及它的“孔像抛物线”与直线 $y=m$有且只有三个交点，求 $m$的值．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 、 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1） $b=$ 　　， $c=$ 　　；

（2）若点 $D$ 在该二次函数的图象上，且 $S_{\mathit{\Delta ABD}}=2S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）若点 $P$ 是该二次函数图象上位于 $x$ 轴上方的一点，且 $S_{\mathit{\Delta APC}}=S_{\mathit{\Delta APB}}$ ，写出点 $P$ 的坐标．