初中数学试题

抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{mx}+2$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，已知点 $A$的坐标为 $(-1,0)$， $P$为抛物线第一象限上一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，若 $\angle \mathit{PBA}=45°$，求 $\mathit{\Delta PAB}$的面积；

（3）如图2，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PC}$，若 $\angle \mathit{APC}=2\angle \mathit{PAB}$，求点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{mx}+2$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，点 $A$的坐标为 $(1,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴 $l$上找一点 $P$，使 $\mathit{PA}+\mathit{PC}$的值最小．并求出 $P$点坐标；

（3）在第二象限内的抛物线上，是否存在点 $M$，使得 $\mathit{\Delta MBC}$的面积是 $\mathit{\Delta ABC}$面积的一半？若存在，求出点 $M$的坐标，若不存在，请说明理由．

已知：如图，抛物线 $y=a{x}^2+4x+c$ 经过原点 $O(0,0)$ 和点 $A(3,3)$ ， $P$ 为抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $B(m,0)$ ，并与直线 $\mathit{OA}$ 交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$ 在直线 $\mathit{OA}$ 上方时，求线段 $\mathit{PC}$ 的最大值；

（3）过点 $A$ 作 $\mathit{AD}\perp x$ 轴于点 $D$ ，在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得以 $P$ 、 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c(b$， $c$为常数， $b>0)$经过点 $A(-1,0)$，点 $M(m,0)$是 $x$轴正半轴上的动点．

（Ⅰ）当 $b=2$时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）点 $D(b,y_D)$在抛物线上，当 $\mathit{AM}=\mathit{AD}$， $m=5$时，求 $b$的值；

（Ⅲ）点 $Q(b+\frac{1}{2}$， $y_Q)$在抛物线上，当 $\sqrt{2}\mathit{AM}+2\mathit{QM}$的最小值为 $\frac{33\sqrt{2}}{4}$时，求 $b$的值．

在平面直角坐标系中，点 $O(0,0)$，点 $A(1,0)$．已知抛物线 $y=x^2+\mathit{mx}-2m(m$是常数），顶点为 $P$．

（Ⅰ）当抛物线经过点 $A$时，求顶点 $P$的坐标；

（Ⅱ）若点 $P$在 $x$轴下方，当 $\angle \mathit{AOP}=45°$时，求抛物线的解析式；

（Ⅲ）无论 $m$取何值，该抛物线都经过定点 $H$．当 $\angle \mathit{AHP}=45°$时，求抛物线的解析式．

已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}-3(b$是常数）经过点 $A(-1,0)$．

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2） $P(m,t)$为抛物线上的一个动点， $P$关于原点的对称点为 $P^{\text{'}}$．

①当点 $P^{\text{'}}$落在该抛物线上时，求 $m$的值；

②当点 $P^{\text{'}}$落在第二象限内， $P^{\text{'}}{A}^2$取得最小值时，求 $m$的值．

已知抛物线 $C:y=x^2-2x+1$ 的顶点为 $P$ ，与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，点 $F(1,\frac{1}{2})$ ．

（Ⅰ） 求点 $P$ ， $Q$ 的坐标；

（Ⅱ） 将抛物线 $C$ 向上平移得到抛物线 $C\text{'}$ ，点 $Q$ 平移后的对应点为 $Q\text{'}$ ，且 $\mathit{FQ}\text{'}=\mathit{OQ}\text{'}$ ．

①求抛物线 $C\text{'}$ 的解析式；

②若点 $P$ 关于直线 $Q\text{'}F$ 的对称点为 $K$ ，射线 $\mathit{FK}$ 与抛物线 $C\text{'}$ 相交于点 $A$ ，求点 $A$ 的坐标 ．

综合与探究

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+6$经过点 $A(-2,0)$， $B(4,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$是抛物线上一个动点，设点 $D$的横坐标为 $m(1<m<4)$．连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{DB}$， $\mathit{DC}$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2） $\mathit{\Delta BCD}$的面积等于 $\mathit{\Delta AOC}$的面积的 $\frac{3}{4}$时，求 $m$的值；

（3）在（2）的条件下，若点 $M$是 $x$轴上一动点，点 $N$是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点 $M$，使得以点 $B$， $D$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与探究

如图，抛物线 $y=\frac{1}{3}{x}^2-\frac{1}{3}x-4$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．点 $P$是第四象限内抛物线上的一个动点，点 $P$的横坐标为 $m$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp x$轴，垂足为点 $M$， $\mathit{PM}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$，过点 $P$作 $\mathit{PE}//\mathit{AC}$交 $x$轴于点 $E$，交 $\mathit{BC}$于点 $F$．

（1）求 $A$， $B$， $C$三点的坐标；

（2）试探究在点 $P$运动的过程中，是否存在这样的点 $Q$，使得以 $A$， $C$， $Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含 $m$的代数式表示线段 $\mathit{QF}$的长，并求出 $m$为何值时 $\mathit{QF}$有最大值．

如图，抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{9}{x}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+3\sqrt{3}$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$．点 $P$沿 $\mathit{AC}$以每秒1个单位长度的速度由点 $A$向点 $C$运动，同时，点 $Q$沿 $\mathit{BO}$以每秒2个单位长度的速度由点 $B$向点 $O$运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接 $\mathit{PQ}$．过点 $Q$作 $\mathit{QD}\perp x$轴，与抛物线交于点 $D$，与 $\mathit{BC}$交于点 $E$，连接 $\mathit{PD}$，与 $\mathit{BC}$交于点 $F$．设点 $P$的运动时间为 $t$秒 $(t>0)$．

（1）求直线 $\mathit{BC}$的函数表达式；

（2）①直接写出 $P$， $D$两点的坐标（用含 $t$的代数式表示，结果需化简）

②在点 $P$、 $Q$运动的过程中，当 $\mathit{PQ}=\mathit{PD}$时，求 $t$的值；

（3）试探究在点 $P$， $Q$运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点 $F$为 $\mathit{PD}$的中点？若存在，请直接写出此时 $t$的值与点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-8$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $l$ 经过坐标原点 $O$ ，与抛物线的一个交点为 $D$ ，与抛物线的对称轴交于点 $E$ ，连接 $\mathit{CE}$ ，已知点 $A$ ， $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(6,-8)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 $B$ 和点 $E$ 的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点 $F$ ，使 $\mathit{\Delta FOE}\cong \mathit{\Delta FCE}$ ？若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是 $y$ 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为 $(0,m)$ ，直线 $\mathit{PB}$ 与直线 $l$ 交于点 $Q$ ，试探究：当 $m$ 为何值时， $\mathit{\Delta OPQ}$ 是等腰三角形．

已知 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=2$，弦 $\mathit{AC}$与弦 $\mathit{BD}$交于点 $E$．且 $\mathit{OD}\perp \mathit{AC}$，垂足为点 $F$．

（1）如图1，如果 $\mathit{AC}=\mathit{BD}$，求弦 $\mathit{AC}$的长；

（2）如图2，如果 $E$为弦 $\mathit{BD}$的中点，求 $\angle \mathit{ABD}$的余切值；

（3）联结 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DA}$，如果 $\mathit{BC}$是 $\odot O$的内接正 $n$边形的一边， $\mathit{CD}$是 $\odot O$的内接正 $(n+4)$边形的一边，求 $\mathit{\Delta ACD}$的面积．

如图，已知 $\odot O$的半径长为1， $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$是 $\odot O$的两条弦，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BO}$的延长线交 $\mathit{AC}$于点 $D$，联结 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OC}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta OAD}\backsim \mathit{\Delta ABD}$；

（2）当 $\mathit{\Delta OCD}$是直角三角形时，求 $B$、 $C$两点的距离；

（3）记 $\mathit{\Delta AOB}$、 $\mathit{\Delta AOD}$、 $\mathit{\Delta COD}$ 的面积分别为 $S_1$、 $S_2$、 $S_3$，如果 $S_2$是 $S_1$和 $S_3$的比例中项，求 $\mathit{OD}$的长．

如图所示，梯形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}//\mathit{DC}$ ， $\angle B=90°$ ， $\mathit{AD}=15$ ， $\mathit{AB}=16$ ， $\mathit{BC}=12$ ，点 $E$ 是边 $\mathit{AB}$ 上的动点，点 $F$ 是射线 $\mathit{CD}$ 上一点，射线 $\mathit{ED}$ 和射线 $\mathit{AF}$ 交于点 $G$ ，且 $\angle \mathit{AGE}=\angle \mathit{DAB}$ ．

（1）求线段 $\mathit{CD}$ 的长；

（2）如果 $\mathit{\Delta AEG}$ 是以 $\mathit{EG}$ 为腰的等腰三角形，求线段 $\mathit{AE}$ 的长；

（3）如果点 $F$ 在边 $\mathit{CD}$ 上（不与点 $C$ 、 $D$ 重合），设 $\mathit{AE}=x$ ， $\mathit{DF}=y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围．

问题提出：

（1）如图1，已知 $\mathit{\Delta ABC}$，试确定一点 $D$，使得以 $A$， $B$， $C$， $D$为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；

问题探究：

（2）如图2，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=10$，若要在该矩形中作出一个面积最大的 $\mathit{\Delta BPC}$，且使 $\angle \mathit{BPC}=90°$，求满足条件的点 $P$到点 $A$的距离；

问题解决：

（3）如图3，有一座塔 $A$，按规定，要以塔 $A$为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区 $\mathit{BCDE}$．根据实际情况，要求顶点 $B$是定点，点 $B$到塔 $A$的距离为50米， $\angle \mathit{CBE}=120°$，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区 $\mathit{BCDE}$？若可以，求出满足要求的平行四边形 $\mathit{BCDE}$的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔 $A$的占地面积忽略不计）