初中数学试题

在 $Rt△ABC$中， $M$是斜边 $AB$的中点，将线段 $MA$绕点 $M$旋转至 $MD$位置，点 $D$在直线 $AB$外，连接 $AD，BD$．

（1）如图1，求 $\angle ADB$的大小；

（2）已知点 $D$和边 $AC$上的点 $E$满足 $ME\perp AD，DE\parallel AB$．

（i）如图2，连接 $CD$，求证： $BD＝CD$；

（ii）如图3，连接 $BE$，若 $AC＝8，BC＝6$，求 $\tan \angle ABE$的值．

端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按 $10$分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于 $6$的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取 $10$名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：

八年级 $10$名学生活动成绩统计表

成绩/分	6	7	8	9	10
人数	1	2	a	b	2

已知八年级 $10$名学生活动成绩的中位数为 $8.5$分．

请根据以上信息，完成下列问题：

（1）样本中，七年级活动成绩为 $7$分的学生数是＿＿＿＿＿，七年级活动成绩的众数为 　＿＿＿＿＿分；

（2） $a＝$＿＿＿＿＿， $b＝$＿＿＿＿＿；

（3）若认定活动成绩不低于 $9$分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．

已知四边形 $ABCD$内接于 $\odot O$，对角线 $BD$是 $\odot O$的直径．

（1）如图1，连接 $OA，CA$，若 $OA\perp BD$，求证： $CA$平分 $\angle BCD$；

（2）如图2， $E$为 $\odot O$内一点，满足 $AE\perp BC，CE\perp AB$．若 $BD＝3\sqrt{3}$， $AE＝3$，求弦 $BC$的长．

如图， $O，R$是同一水平线上的两点，无人机从 $O$点竖直上升到 $A$点时，测得 $A$到 $R$点的距离为 $40m$， $R$点的俯角为 $24.2°$，无人机继续竖直上升到 $B$点，测得 $R$点的俯角为 $36.9°$．求无人机从 $A$点到 $B$点的上升高度 $AB$（精确到 $0.1m$）．

参考数据： $\sin 24.2°\approx 0.41，\cos 24.2°\approx 0.91，\tan 24.2°\approx 0.45，\sin 36.9°\approx 0.60，\cos 36.9°\approx 0.80，\tan 36.9°\approx 0.75$．

【观察思考】

【规律发现】

请用含 $n$的式子填空：

（1）第 $n$个图案中“◎”的个数为＿＿＿＿＿；

（2）第1个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{1\times 2}{2}$，第 $2$个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{2\times 3}{2}$，第 $3$个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{3\times 4}{2}$，第 $4$个图案中“★”的个数可表示为 $\frac{4\times 5}{2}$，……，第 $n$个图案中“★”的个数可表示为＿＿＿＿＿．

【规律应用】

（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数 $n$，使得连续的正整数之和 $1+2+3+\dots \dots +n$等于第 $n$个图案中“◎”的个数的 $2$倍．

如图，在由边长为 $1$个单位长度的小正方形组成的网格中，点 $A，B，C，D$均为格点（网格线的交点）．

（1）画出线段 $AB$关于直线 $CD$对称的线段 $A_1{B}_1$；

（2）将线段 $AB$向左平移 $2$个单位长度，再向上平移 $1$个单位长度，得到线段 $A_2{B}_2$，画出线段 $A_2{B}_2$；

（3）描出线段 $AB$上的点 $M$及直线 $CD$上的点 $N$，使得直线 $MN$垂直平分 $AB$．

根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下调整：甲地上涨 $10\%$，乙地降价 $5$元．已知销售单价调整前甲地比乙地少 $10$元，调整后甲地比乙地少 $1$元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价．

先化简，再求值： $\frac{x^2+2x+1}{x+1}$，其中 $x＝\sqrt{2}-1$．

如图， $O$是坐标原点， $Rt△OAB$的直角顶点 $A$在 $x$轴的正半轴上， $AB＝2$， $\angle AOB＝30°$，反比例函数 $y＝\frac{k}{x}（k＞0）$的图象经过斜边 $OB$的中点 $C$．

（1） $k＝$＿＿＿＿＿；

（2） $D$为该反比例函数图象上的一点，若 $DB\parallel AC$，则 $O{B}^2﹣B{D}^2$的值为＿＿＿＿＿．

清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角 $△ABC$的高，则 $BD＝\frac{1}{2}\left(BC+\frac{A{B}^2-A{C}^2}{BC}\right)$．当 $AB＝7，BC＝6，AC＝5$时， $CD＝$＿＿＿＿＿．

据统计，2023年第一季度安徽省采矿业实现利润总额 $74.5$亿元，其中 $74.5$亿用科学记数法表示为＿＿＿＿＿．

计算： $\sqrt[3]{8}+1＝$＿＿＿＿＿．

如图， $E$是线段 $AB$上一点， $△ADE$和 $△BCE$是位于直线 $AB$同侧的两个等边三角形，点 $P，F$分别是 $CD，AB$的中点．若 $AB＝4$，则下列结论错误的是（　　）

A．	$PA+PB$的最小值为 $3\sqrt{3}$
B．	$PE+PF$的最小值为 $2\sqrt{3}$
C．	$△CDE$周长的最小值为 $6$
D．	四边形 $ABCD$面积的最小值为 $3\sqrt{3}$

已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}（k\ne 0）$在第一象限内的图象与一次函数 $y＝﹣x+b$的图象如图所示，则函数 $y＝x^2﹣bx+k﹣1$的图象可能为（　　）

A．		B．
C．		D．

如图，点 $E$在正方形 $ABCD$的对角线 $AC$上， $EF\perp AB$于点 $F$，连接 $DE$并延长，交边 $BC$于点 $M$，交边 $AB$的延长线于点 $G$．若 $AF＝2，FB＝1$，则 $MG＝$（　　）

A．

$2\sqrt{3}$

B．

$\frac{3\sqrt{5}}{2}$

C．

$\sqrt{5}+1$

D．

$\sqrt{10}$