已知：如图，抛物线 $y=a{x}^2+4x+c$ 经过原点 $O(0,0)$ 和点 $A(3,3)$ ， $P$ 为抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $B(m,0)$ ，并与直线 $\mathit{OA}$ 交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$ 在直线 $\mathit{OA}$ 上方时，求线段 $\mathit{PC}$ 的最大值；

（3）过点 $A$ 作 $\mathit{AD}\perp x$ 轴于点 $D$ ，在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得以 $P$ 、 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．