初中数学解答题

在平面直角坐标系中，点 $O$是坐标原点，抛物线 $y＝a{x}^2+bx（a\ne 0）$经过点 $A（3，3）$，对称轴为直线 $x＝2$．

（1）求 $a，b$的值；

（2）已知点 $B，C$在抛物线上，点 $B$的横坐标为 $t$，点 $C$的横坐标为 $t+1$．过点 $B$作 $x$轴的垂线交直线 $OA$于点 $D$，过点 $C$作 $x$轴的垂线交直线 $OA$于点 $E$．

（i）当 $0＜t＜2$时，求 $△OBD$与 $△ACE$的面积之和；

（ii）在抛物线对称轴右侧，是否存在点 $B$，使得以 $B，C，D，E$为顶点的四边形的面积为 $\frac{3}{2}$？若存在，请求出点 $B$的横坐标 $t$的值；若不存在，请说明理由．

综合运用

如图1，在平面直角坐标系中，正方形 $OABC$的顶点 $A$在 $x$轴的正半轴上．如图2，将正方形 $OABC$绕点 $O$逆时针旋转，旋转角为 $\alpha （0°＜\alpha ＜45°）$， $AB$交直线 $y＝x$于点 $E$， $BC$交 $y$轴于点 $F$．

（1）当旋转角 $\angle COF$为多少度时， $OE＝OF$；（直接写出结果，不要求写解答过程）

（2）若点 $A（4，3）$，求 $FC$的长；

（3）如图3，对角线 $AC$交 $y$轴于点 $M$，交直线 $y＝x$于点 $N$，连接 $FN$．将 $△OFN$与 $△OCF$的面积分别记为 $S_1$与 $S_2$．设 $S＝S_1﹣S_2$， $AN＝n$，求 $S$关于 $n$的函数表达式．

如图，在锐角△ABC中， $\angle A＝60°$，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．

（1）如图1，若 $AB＞AC$，且 $BD＝CE$， $\angle BCD＝\angle CBE$，求 $\angle CFE$的度数；

（2）如图2，若 $AB＝AC$，且 $BD＝AE$，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）若 $AB＝AC$，且 $BD＝AE$，将 $△ABC$沿直线AB翻折至 $△ABC$所在平面内得到 $△ABP$，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将 $△PHK$沿直线HK翻折至 $△PHK$所在平面内得到 $△QHK$，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且 $QK\perp PF$时，请直接写出 $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{BC}}$的值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线AB交于点 $A（0,﹣4）$， $B（4,0）$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作 $x$轴的平行线交AB于点C，过点P作 $y$轴的平行线交 $x$轴于点D，求 $PC+PD$的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）中 $PC+PD$取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与 $y$轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．

例如： $M＝2543$，∵ $3^2+4^2=25$，∴2543是“勾股和数”；

又如： $M＝4325$，∵ $5^2+2^2=29$， $29\ne 43$，∴4325不是“勾股和数”．

（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；

（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记 $G（M）=\frac{c+d}{9}$， $P（M）=\frac{\left|10\left(a-c\right)+\left(b-d\right)\right|}{3}$．当 $G（M）$， $P（M）$均是整数时，求出所有满足条件的M．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝x^2﹣2x﹣3$与 $x$轴相交于点 $A，B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴相交于点 $C$，连接 $AC$．

（1）求点 $B$，点 $C$的坐标；

（2）如图1，点 $E（m，0）$在线段 $OB$上（点 $E$不与点 $B$重合），点 $F$在 $y$轴负半轴上， $OE＝OF$，连接 $AF，BF，EF$，设 $△ACF$的面积为 $S_1$， $△BEF$的面积为 $S_2$， $S＝S_1+S_2$，当 $S$取最大值时，求 $m$的值；

（3）如图2，抛物线的顶点为 $D$，连接 $CD，BC$，点 $P$在第一象限的抛物线上， $PD$与 $BC$相交于点 $Q$，是否存在点 $P$，使 $\angle PQC＝\angle ACD$，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：

如图1，在 $△ABC$中， $D$是 $AB$上一点， $\angle ADC＝\angle ACB$．求证 $\angle ACD＝\angle ABC$．

独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．

“如图2，延长 $CA$至点 $E$，使 $CE＝BD$， $BE$与 $CD$的延长线相交于点 $F$，点 $G，H$分别在 $BF、BC$上， $BG＝CD，\angle BGH＝\angle BCF$．在图中找出与 $BH$相等的线段，并证明．”

问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当 $\angle BAC＝90°$时，若给出 $△ABC$中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．

“如图3，在（2）的条件下，若 $\angle BAC＝90°，AB＝4，AC＝2$，求 $BH$的长．”

如图，矩形 $ABCD$中， $AB＝15，BC＝9$， $E$是 $CD$边上一点（不与点 $C$重合），作 $AF\perp BE$于 $F$， $CG\perp BE$于 $G$，延长 $CG$至点 $C\prime$，使 $C\prime G＝CG$，连接 $CF，AC\prime$．

（1）直接写出图中与 $△AFB$相似的一个三角形；

（2）若四边形 $AFCC\prime$是平行四边形，求 $CE$的长；

（3）当 $CE$的长为多少时，以 $C\prime ，F，B$为顶点的三角形是以 $C\prime F$为腰的等腰三角形？

如图，以 $AB$为直径的 $\odot O$与 $AH$相切于点 $A$，点 $C$在 $AB$左侧圆弧上，弦 $CD\perp AB$交 $\odot O$于点 $D$，连结 $AC，AD$．点 $A$关于 $CD$的对称点为 $E$，直线 $CE$交 $\odot O$于点 $F$，交 $AH$于点 $G$．

（1）求证： $\angle CAG＝\angle AGC$；

（2）当点 $E$在 $AB$上，连结 $AF$交 $CD$于点 $P$，若 $\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CE}}=\frac{2}{5}$，求 $\frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{CP}}$的值；

（3）当点 $E$在射线 $AB$上， $AB＝2$，以点 $A，C，O，F$为顶点的四边形中有一组对边平行时，求 $AE$的长．

如图，已知点 $M（x_1，y_1），N（x_2，y_2）$在二次函数 $y＝a（x﹣2{）}^2﹣1（a＞0）$的图象上，且 $x_2﹣x_1＝3$．

（1）若二次函数的图象经过点 $（3，1）$．

①求这个二次函数的表达式；

②若 $y_1＝y_2$，求顶点到 $MN$的距离；

（2）当 $x_1\le x\le x_2$时，二次函数的最大值与最小值的差为 $1$，点 $M，N$在对称轴的异侧，求 $a$的取值范围．

如图1，四边形 $ABCD$中， $AD\parallel BC，\angle ABC＝90°，\angle C＝30°，AD＝3，AB＝2\sqrt{3}$， $DH\perp BC$于点 $H$．将 $△PQM$与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点 $P$与 $A$重合，点 $B$在 $PM$上，其中 $\angle Q＝90°，\angle QPM＝30°，PM＝4\sqrt{3}$．

（1）求证： $△PQM≌△CHD$；

（2） $△PQM$从图1的位置出发，先沿着 $BC$方向向右平移（图2），当点 $P$到达点 $D$后立刻绕点 $D$逆时针旋转（图3），当边 $PM$旋转 $50°$时停止．

①边 $PQ$从平移开始，到绕点 $D$旋转结束，求边 $PQ$扫过的面积；

②如图2，点 $K$在 $BH$上，且 $BK＝9﹣4\sqrt{3}$．若 $△PQM$右移的速度为每秒 $1$个单位长，绕点 $D$旋转的速度为每秒 $5°$，求点 $K$在 $△PQM$区域（含边界）内的时长；

③如图3，在 $△PQM$旋转过程中，设 $PQ，PM$分别交 $BC$于点 $E，F$，若 $BE＝d$，直接写出 $CF$的长（用含 $d$的式子表示）．

已知抛物线 $y＝﹣x^2+bx+c$与 $x$轴交于 $A（﹣1，0），B（m，0）$两点，与 $y$轴交于点 $C（0，5）$．

（1）求 $b，c，m$的值；

（2）如图1，点 $D$是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点 $D$在第一象限内，过点 $D$作 $x$轴的平行线交抛物线于点 $E$，作 $y$轴的平行线交 $x$轴于点 $G$，过点 $E$作 $EF\perp x$轴，垂足为点 $F$，当四边形 $DEFG$的周长最大时，求点 $D$的坐标；

（3）如图2，点 $M$是抛物线的顶点，将 $△MBC$沿 $BC$翻折得到 $△NBC$， $NB$与 $y$轴交于点 $Q$，在对称轴上找一点 $P$，使得 $△PQB$是以 $QB$为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点 $P$的坐标．

如图，在四边形 $ABCD$中，对角线 $AC$与 $BD$相交于点 $O$，记 $△COD$的面积为 $S_1$， $△AOB$的面积为 $S_2$．

（1）问题解决：如图①，若 $AB\parallel CD$，求证： $\frac{{\mathrm{S}}_1}{{\mathrm{S}}_2}=\frac{\mathrm{OC}\cdot \mathrm{OD}}{\mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}}$

（2）探索推广：如图②，若 $AB$与 $CD$不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展应用：如图③，在 $OA$上取一点 $E$，使 $OE＝OC$，过点 $E$作 $EF\parallel CD$交 $BD$于点 $F$，点 $H$为 $AB$的中点， $OH$交 $EF$于点 $G$，且 $OG＝2GH$，若 $\frac{\mathrm{OE}}{\mathrm{OA}}=\frac{5}{6}$，求 $\frac{{\mathrm{S}}_1}{{\mathrm{S}}_2}$值．

如图1，平面直角坐标系 $xOy$中，抛物线 $y＝a{x}^2+bx+c（a＜0）$与 $x$轴分别交于点 $A$和点 $B（1，0）$，与 $y$轴交于点 $C$，对称轴为直线 $x＝﹣1$，且 $OA＝OC$， $P$为抛物线上一动点．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图2，连接 $AC$，当点 $P$在直线 $AC$上方时，求四边形 $PABC$面积的最大值，并求出此时 $P$点的坐标；

（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当 $P，M$运动时，在坐标轴上是否存在点 $N$，使四边形 $PMCN$为矩形？若存在，直接写出点 $P$及其对应点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y＝﹣x^2+3x+4$与 $x$轴交于 $A，B$两点（点 $A$位于点 $B$的左侧），与 $y$轴交于 $C$点，抛物线的对称轴 $l$与 $x$轴交于点 $N$，长为 $1$的线段 $PQ$（点 $P$位于点 $Q$的上方）在 $x$轴上方的抛物线对称轴上运动．

（1）直接写出 $A，B，C$三点的坐标；

（2）求 $CP+PQ+QB$的最小值；

（3）过点 $P$作 $PM\perp y$轴于点 $M$，当 $△CPM$和 $△QBN$相似时，求点 $Q$的坐标．