若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与

更新 2023-11-23
科目数学
题型解答题
难度较难
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若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．

例如： $M ＝ 2543$ ，∵ $3^{2} + 4^{2} = 25$ ，∴2543是“勾股和数”；

又如： $M ＝ 4325$ ，∵ $5^{2} + 2^{2} = 29$ ， $29 \neq 43$ ，∴4325不是“勾股和数”．

（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；

（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记 $G （ M ） = \frac{c + d}{9}$ ， $P （ M ） = \frac{|10 (a - c) + (b - d)|}{3}$ ．当 $G （ M ）$ ， $P （ M ）$ 均是整数时，求出所有满足条件的M．

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图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线 $B - A - O$ 表示固定支架， $AO$ 垂直水平桌面 $OE$ 于点 $O$ ，点 $B$ 为旋转点， $BC$ 可转动，当 $BC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转时，投影探头 $CD$ 始终垂直于水平桌面 $OE$ ，经测量： $AO = 6.8 cm$ ， $CD = 8 cm$ ， $AB = 30 cm$ ， $BC = 35 cm$ ．（结果精确到 $0.1)$ ．

（1）如图2， $∠ ABC = 70 °$ ， $BC / / OE$ ．

①填空： $∠ BAO =$ 　　 $°$ ．

②求投影探头的端点 $D$ 到桌面 $OE$ 的距离．

（2）如图3，将（1）中的 $BC$ 向下旋转，当投影探头的端点 $D$ 到桌面 $OE$ 的距离为 $6 cm$ 时，求 $∠ ABC$ 的大小．

（参考数据： $\sin 70 ° \approx 0.94$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94$ ， $\sin 36.8 ° \approx 0.60$ ， $\cos 53.2 ° \approx 0.60)$

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如图1， $AB$ 为半圆的直径，点 $O$ 为圆心， $AF$ 为半圆的切线，过半圆上的点 $C$ 作 $CD / / AB$ 交 $AF$ 于点 $D$ ，连接 $BC$ ．

（1）连接 $DO$ ，若 $BC / / OD$ ，求证： $CD$ 是半圆的切线；

（2）如图2，当线段 $CD$ 与半圆交于点 $E$ 时，连接 $AE$ ， $AC$ ，判断 $∠ AED$ 和 $∠ ACD$ 的数量关系，并证明你的结论．

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某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况（七、八年级学生人数相同），某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学，调查了他们周一至周五的听力训练情况，根据调查情况得到如下统计图表：

周一至周五英语听力训练人数统计表

年级	参加英语听力训练人数
年级	周一	周二	周三	周四	周五
七年级	15	20	$a$	30	30
八年级	20	24	26	30	30
合计	35	44	51	60	60

（1）填空： $a =$ 　　；

（2）根据上述统计图表完成下表中的相关统计量：

年级	平均训练时间的中位数	参加英语听力训练人数的方差
七年级	24	34
八年级		14.4

（3）请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价；

（4）请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表，估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练．

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如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ 的坐标分别为 $(- \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $0)$ ， $(\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $1)$ ，连接 $AB$ ，以 $AB$ 为边向上作等边三角形 $ABC$ ．

（1）求点 $C$ 的坐标；

（2）求线段 $BC$ 所在直线的解析式．

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为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母 $A$ ， $B$ ， $C$ 依次表示这三首歌曲）．比赛时，将 $A$ ， $B$ ， $C$ 这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．

（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是　　；

（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．

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