初中数学解答题

已知：点 $C，D$均在直线 $l$的上方， $AC$与 $BD$都是直线 $l$的垂线段，且 $BD$在 $AC$的右侧， $BD＝2AC$， $AD$与 $BC$相交于点 $O$．

（1）如图1，若连接 $CD$，则 $△BCD$的形状为 　 　， $\frac{\mathit{AO}}{\mathit{AD}}$的值为 　 　；

（2）若将 $BD$沿直线 $l$平移，并以 $AD$为一边在直线 $l$的上方作等边 $△ADE$．

①如图2，当 $AE$与 $AC$重合时，连接 $OE$，若 $AC=\frac{3}{2}$，求 $OE$的长；

②如图3，当 $\angle ACB＝60°$时，连接 $EC$并延长交直线 $l$于点 $F$，连接 $OF$．求证： $OF\perp AB$．

如图，已知抛物线 $y＝﹣x^2+bx+c$经过 $A（0,3）$和 $B（\frac{7}{2},-\frac{9}{4}）$两点，直线 $AB$与 $x$轴相交于点 $C$， $P$是直线 $AB$上方的抛物线上的一个动点， $PD\perp x$轴交 $AB$于点 $D$．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若 $PE\parallel x$轴交 $AB$于点 $E$，求 $PD+PE$的最大值；

（3）若以 $A，P，D$为顶点的三角形与 $△AOC$相似，请直接写出所有满足条件的点 $P$，点 $D$的坐标．

如图，在 $△ABC$中， $\angle ACB＝90°$，点 $D$是 $AB$边的中点，点 $O$在 $AC$边上， $\odot O$经过点 $C$且与 $AB$边相切于点 $E$， $\angle FAC=\frac{1}{2}\angle BDC$．

（1）求证： $AF$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $BC＝6$， $\sin B=\frac{4}{5}$，求 $\odot O$的半径及 $OD$的长．

综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：

如图1，在线段AC同侧有两点 $B，D$，连接 $AD，AB，BC，CD$，如果 $\angle B＝\angle D$，那么 $A，B，C，D$四点在同一个圆上．

探究展示：

如图2，作经过点 $A，C，D$的 $\odot O$，在劣弧 $AC$上取一点 $E$（不与 $A，C$重合），连接 $AE，CE$，则 $\angle AEC+\angle D＝180°$（依据1）

∵ $\angle B＝\angle D$

∴ $\angle AEC+\angle B＝180°$

∴点 $A，B，C，E$四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

∴点 $B，D$在点 $A，C，E$所确定的 $\odot O$上（依据2）

∴点 $A，B，C，D$四点在同一个圆上

反思归纳：

（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；依据2：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

（2）如图3，在四边形 $ABCD$中， $\angle 1＝\angle 2，\angle 3＝45°$，则 $\angle 4$的度数为＿＿＿＿＿．

拓展探究：

（3）如图4，已知 $△ABC$是等腰三角形， $AB＝AC$，点 $D$在 $BC$上（不与 $BC$的中点重合），连接 $AD$．作点 $C$关于 $AD$的对称点 $E$，连接 $EB$并延长交 $AD$的延长线于 $F$，连接 $AE，DE$．

①求证： $A，D，B，E$四点共圆；

②若 $AB＝2\sqrt{2}$， $AD•AF$的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝x^2﹣bx$（b是常数）经过点（2，0）．点A在抛物线上，且点A的横坐标为m（m≠0）．以点A为中心，构造正方形PQMN，PQ＝2|m|，且PQ⊥x轴．

（1）求该抛物线对应的函数表达式；

（2）若点B是抛物线上一点，且在抛物线对称轴左侧．过点B作x轴的平行线交抛物线于另一点C，连结BC．当BC＝4时，求点B的坐标；

（3）若m＞0，当抛物线在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，或者y随x的增大而减小时，求m的取值范围；

（4）当抛物线与正方形PQMN的边只有2个交点，且交点的纵坐标之差为 $\frac{3}{4}$时，直接写出m的值．

如图，在▱ABCD中， $AB＝4$， $AD＝BD=\sqrt{13}$，点M为边AB的中点．动点P从点A出发，沿折线 $AD﹣DB$以每秒 $\sqrt{13}$个单位长度的速度向终点B运动，连结PM．作点A关于直线PM的对称点 $A`$，连结 $A`P$、 $A`M$．设点P的运动时间为t秒，

（1）点D到边AB的距离为 　 　；

（2）用含t的代数式表示线段DP的长；

（3）连结 $A`D$，当线段 $A`D$最短时，求 $△DPA`$的面积；

（4）当 $M$、 $A`$、 $C$三点共线时，直接写出t的值．

【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中 $AD=\sqrt{2}AB$．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想 $△ADG≌△AFG$．

【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴ $\angle BAD＝\angle B＝\angle C＝\angle D＝90°$．

由折叠可知， $\angle BAF=\frac{1}{2}\angle BAD＝45°$， $\angle BFA＝\angle EFA$．

∴ $\angle EFA＝\angle BFA＝45°$．

∴ $AF=\sqrt{2}AB=AD$

请你补全余下的证明过程．

【结论应用】

（1）∠DAG的度数为 　 　度， $\frac{\mathit{FG}}{\mathit{AF}}$的值为 　 　；

（2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP $=\frac{1}{2}$AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设 $AB＝a$，则 $FQ+PQ$的最小值为 　 　．（用含a的代数式表示）

现有若干张相同的半圆形纸片，点O是圆心，直径AB的长是12cm，C是半圆弧上的一点（点C与点A、B不重合），连接AC、BC．

（1）沿AC、BC剪下△ABC，则△ABC是 　 　三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；

（2）分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H．已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为6cm的菱形．请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（3）经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C，一定存在线段AC上的点M、线段BC上的点N和直径AB上的点P、Q，使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形．小明的猜想是否正确？请说明理由．

已知二次函数 $y＝a{x}^2+bx+3$的自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：

x	…	﹣1	0	1	2	3	…
y	…	4	3	0	﹣5	﹣12	…

（1）求二次函数 $y＝a{x}^2+bx+3$的表达式；

（2）将二次函数 $y＝a{x}^2+bx+3$的图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数 $y＝m{x}^2+nx+q$的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y随x增大而增大；当4＜x＜5时，y随x增大而减小．请写出一个符合条件的二次函数 $y＝m{x}^2+nx+q$的表达式y＝　 　，实数k的取值范围是 　 　；

（3）A、B、C是二次函数 $y＝a{x}^2+bx+3$的图象上互不重合的三点．已知点A、B的横坐标分别是m、m+1，点C与点A关于该函数图象的对称轴对称，求∠ACB的度数．

已知抛物线经过 $A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）$三点，O为坐标原点，抛物线交正方形 $OBDC$的边 $BD$于点 $E$，点 $M$为射线 $BD$上一动点，连接 $OM$，交 $BC$于点 $F$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）求证： $\angle BOF＝\angle BDF$；

（3）是否存在点 $M$，使 $△MDF$为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求 $ME$的长．

如图，抛物线 $y＝x^2+bx+c$（ $b，c$是常数）的顶点为 $C$，与 $x$轴交于 $A，B$两点， $A（1，0），AB＝4$，点 $P$为线段 $AB$上的动点，过 $P$作 $PQ\parallel BC$交 $AC$于点 $Q$．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求 $△CPQ$面积的最大值，并求此时 $P$点坐标．

（1）发现：如图①所示，在正方形 $ABCD$中， $E$为AD边上一点，将 $△AEB$沿 $BE$翻折到 $△BEF$处，延长 $EF$交 $CD$边于 $G$点．求证： $△BFG≌△BCG$；

（2）探究：如图②，在矩形 $ABCD$中， $E$为 $AD$边上一点，且 $AD＝8，AB＝6$．将 $△AEB$沿 $BE$翻折到 $△BEF$处，延长 $EF$交 $BC$边于 $G$点，延长 $BF$交 $CD$边于点 $H$，且 $FH＝CH$，求 $AE$的长．

（3）拓展：如图③，在菱形 $ABCD$中， $AB＝6$， $E$为 $CD$边上的三等分点， $\angle D＝60°$．将 $△ADE$沿 $AE$翻折得到 $△AFE$，直线 $EF$交 $BC$于点 $P$，求 $PC$的长．

综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形 $ABCD$中，E是BC的中点， $AE\perp EP$， $EP$与正方形的外角 $\angle DCG$的平分线交于 $P$点．试猜想 $AE$与 $EP$的数量关系，并加以证明；

【思考尝试】

（1）同学们发现，取 $AB$的中点 $F$，连接 $EF$可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

【实践探究】

（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形 $ABCD$中， $E$为 $BC$边上一动点（点 $E，B$不重合）， $△AEP$是等腰直角三角形， $\angle AEP＝90°$，连接 $CP$，可以求出 $\angle DCP$的大小，请你思考并解答这个问题．

【拓展迁移】

（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形 $ABCD$中， $E$为 $BC$边上一动点（点 $E，B$不重合）， $△AEP$是等腰直角三角形， $\angle AEP＝90°$，连接 $DP$．知道正方形的边长时，可以求出 $△ADP$周长的最小值．当 $AB＝4$时，请你求出 $△ADP$周长的最小值．

如图，已知抛物线 $y＝a{x}^2+bx+3（a\ne 0）$与 $x$轴交于 $A（1，0），B（4，0）$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数表达式及点 $D$的坐标；

（2）若四边形 $BCEF$为矩形， $CE＝3$．点 $M$以每秒 $1$个单位的速度从点 $C$沿 $CE$向点 $E$运动，同时点 $N$以每秒 $2$个单位的速度从点 $E$沿 $EF$向点 $F$运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以 $M、E、N$为顶点的三角形与 $△BOC$相似时，求运动时间 $t$的值；

（3）抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $P$，点 $G$是点 $P$关于点 $D$的对称点，点 $Q$是 $x$轴下方抛物线上的动点．若过点 $Q$的直线 $\mathrm{l}：\mathrm{y}＝\mathrm{kx}+\mathrm{m}（\left|\mathrm{k}\right|\mathrm{＜}\frac{9}{4}）$与抛物线只有一个公共点，且分别与线段 $GA、GB$相交于点 $H、K$，求证： $GH+GK$为定值．

综合与实践

综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．

（1）操作判断

操作一：对折矩形纸片 $ABCD$，使 $AD$与 $BC$重合，得到折痕 $EF$，把纸片展平；

操作二：在 $AD$上选一点 $P$，沿 $BP$折叠，使点 $A$落在矩形内部点 $M$处，把纸片展平，连接 $PM，BM$．

根据以上操作，当点 $M$在 $EF$上时，写出图1中一个 $30°$的角：＿＿＿＿＿＿．

（2）迁移探究

小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：

将正方形纸片 $ABCD$按照（1）中的方式操作，并延长 $PM$交 $CD$于点 $Q$，连接 $BQ$．

①如图2，当点 $M$在 $EF$上时， $\angle MBQ＝$＿＿＿＿＿＿ $°$， $\angle CBQ＝$＿＿＿＿＿＿ $°$；

②改变点 $P$在 $AD$上的位置（点 $P$不与点 $A，D$重合），如图3，判断 $\angle MBQ$与 $\angle CBQ$的数量关系，并说明理由．

（3）拓展应用

在（2）的探究中，已知正方形纸片 $ABCD$的边长为 $8cm$，当 $FQ＝1cm$时，直接写出 $AP$的长．