【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中 $AD=\sqrt{2}AB$．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想 $△ADG≌△AFG$．

【问题解决】小亮对上面△ADG≌△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴ $\angle BAD＝\angle B＝\angle C＝\angle D＝90°$．

由折叠可知， $\angle BAF=\frac{1}{2}\angle BAD＝45°$， $\angle BFA＝\angle EFA$．

∴ $\angle EFA＝\angle BFA＝45°$．

∴ $AF=\sqrt{2}AB=AD$

请你补全余下的证明过程．

【结论应用】

（1）∠DAG的度数为 　 　度， $\frac{\mathit{FG}}{\mathit{AF}}$的值为 　 　；

（2）在图①的条件下，点P在线段AF上，且AP $=\frac{1}{2}$AB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②．设 $AB＝a$，则 $FQ+PQ$的最小值为 　 　．（用含a的代数式表示）