初中数学试题

如图，已知锐角三角形 $\mathit{ABC}$内接于圆 $O$， $\mathit{OD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，连接 $\mathit{OA}$．

（1）若 $\angle \mathit{BAC}=60°$，

①求证： $\mathit{OD}=\frac{1}{2}\mathit{OA}$．

②当 $\mathit{OA}=1$时，求 $\mathit{\Delta ABC}$面积的最大值．

（2）点 $E$在线段 $\mathit{OA}$上， $\mathit{OE}=\mathit{OD}$，连接 $\mathit{DE}$，设 $\angle \mathit{ABC}=m\angle \mathit{OED}$， $\angle \mathit{ACB}=n\angle \mathit{OED}(m$， $n$是正数），若 $\angle \mathit{ABC}<\angle \mathit{ACB}$，求证： $m-n+2=0$．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+\frac{\sqrt{3}}{2}x+2\sqrt{3}$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$左侧），与 $y$轴交于点 $C$，顶点为 $D$，对称轴与 $x$轴交于点 $Q$．

（1）如图1，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．若点 $P$为直线 $\mathit{BC}$上方抛物线上一动点，过点 $P$作 $\mathit{PE}//y$轴交 $\mathit{BC}$于点 $E$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{BC}$于点 $F$，过点 $B$作 $\mathit{BG}//\mathit{AC}$交 $y$轴于点 $G$．点 $H$， $K$分别在对称轴和 $y$轴上运动，连接 $\mathit{PH}$， $\mathit{HK}$．当 $\mathit{\Delta PEF}$的周长最大时，求 $\mathit{PH}+\mathit{HK}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathit{KG}$的最小值及点 $H$的坐标．

（2）如图2，将抛物线沿射线 $\mathit{AC}$方向平移，当抛物线经过原点 $O$时停止平移，此时抛物线顶点记为 $D\text{'}$， $N$为直线 $\mathit{DQ}$上一点，连接点 $D\text{'}$， $C$， $N$，△ $D\text{'}\mathit{CN}$能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点 $N$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=x^2-2x-3$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），交 $y$轴于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点，对称轴与 $x$轴交于点 $E$．

（1）连结 $\mathit{BD}$，点 $M$是线段 $\mathit{BD}$上一动点（点 $M$不与端点 $B$， $D$重合），过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp \mathit{BD}$，交抛物线于点 $N$（点 $N$在对称轴的右侧），过点 $N$作 $\mathit{NH}\perp x$轴，垂足为 $H$，交 $\mathit{BD}$于点 $F$，点 $P$是线段 $\mathit{OC}$上一动点，当 $\mathit{MN}$取得最大值时，求 $\mathit{HF}+\mathit{FP}+\frac{1}{3}\mathit{PC}$的最小值；

（2）在（1）中，当 $\mathit{MN}$取得最大值， $\mathit{HF}+\mathit{FP}+\frac{1}{3}\mathit{PC}$取得最小值时，把点 $P$向上平移 $\frac{\sqrt{2}}{2}$个单位得到点 $Q$，连结 $\mathit{AQ}$，把 $\mathit{\Delta AOQ}$绕点 $O$顺时针旋转一定的角度 $\alpha (0°<\alpha <360°)$，得到△ $A\text{'}\mathit{OQ}\text{'}$，其中边 $A\text{'}Q\text{'}$交坐标轴于点 $G$．在旋转过程中，是否存在一点 $G$，使得 $\angle Q^{\text{'}}=\angle Q^{\text{'}}\mathit{OG}$？若存在，请直接写出所有满足条件的点 $Q\text{'}$的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $y=-\frac{\sqrt{6}}{6}{x}^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{6}$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左边），与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$是该抛物线的顶点．

（1）如图1，连接 $\mathit{CD}$，求线段 $\mathit{CD}$的长；

（2）如图2，点 $P$是直线 $\mathit{AC}$上方抛物线上一点， $\mathit{PF}\perp x$轴于点 $F$， $\mathit{PF}$与线段 $\mathit{AC}$交于点 $E$；将线段 $\mathit{OB}$沿 $x$轴左右平移，线段 $\mathit{OB}$的对应线段是 $O_1{B}_1$，当 $\mathit{PE}+\frac{1}{2}\mathit{EC}$的值最大时，求四边形 $P{O}_1{B}_{1}C$周长的最小值，并求出对应的点 $O_1$的坐标；

（3）如图3，点 $H$是线段 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{CH}$，将 $\mathit{\Delta OBC}$沿直线 $\mathit{CH}$翻折至△ $O_2{B}_{2}C$的位置，再将△ $O_2{B}_{2}C$绕点 $B_2$旋转一周，在旋转过程中，点 $O_2$， $C$的对应点分别是点 $O_3$， $C_1$，直线 $O_3{C}_1$分别与直线 $\mathit{AC}$， $x$轴交于点 $M$， $N$．那么，在△ $O_2{B}_{2}C$的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使 $\mathit{\Delta AMN}$是以 $\mathit{MN}$为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段 $O_{2}M$的长；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点 $A$在抛物线 $y=-x^2+4x$上，且横坐标为1，点 $B$与点 $A$关于抛物线的对称轴对称，直线 $\mathit{AB}$与 $y$轴交于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点，点 $E$的坐标为 $(1,1)$．

（1）求线段 $\mathit{AB}$的长；

（2）点 $P$为线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的任意一点，过点 $P$作 $\mathit{AB}$的垂线交 $\mathit{AB}$于点 $H$，点 $F$为 $y$轴上一点，当 $\mathit{\Delta PBE}$的面积最大时，求 $\mathit{PH}+\mathit{HF}+\frac{1}{2}\mathit{FO}$的最小值；

（3）在（2）中， $\mathit{PH}+\mathit{HF}+\frac{1}{2}\mathit{FO}$取得最小值时，将 $\mathit{\Delta CFH}$绕点 $C$顺时针旋转 $60°$后得到△ $\mathit{CF}\text{'}H\text{'}$，过点 $F^{\text{'}}$作 $\mathit{CF}\text{'}$的垂线与直线 $\mathit{AB}$交于点 $Q$，点 $R$为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $S$，使以点 $D$， $Q$， $R$， $S$为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $S$的坐标，若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，对称轴与 $x$轴交于点 $D$，点 $E(4,n)$在抛物线上．

（1）求直线 $\mathit{AE}$的解析式；

（2）点 $P$为直线 $\mathit{CE}$下方抛物线上的一点，连接 $\mathit{PC}$， $\mathit{PE}$．当 $\mathit{\Delta PCE}$的面积最大时，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{CB}$，点 $K$是线段 $\mathit{CB}$的中点，点 $M$是 $\mathit{CP}$上的一点，点 $N$是 $\mathit{CD}$上的一点，求 $\mathit{KM}+\mathit{MN}+\mathit{NK}$的最小值；

（3）点 $G$是线段 $\mathit{CE}$的中点，将抛物线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$沿 $x$轴正方向平移得到新抛物线 $y\text{'}$， $y\text{'}$经过点 $D$， $y\text{'}$的顶点为点 $F$．在新抛物线 $y\text{'}$的对称轴上，是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta FGQ}$为等腰三角形？若存在，直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，对称轴与 $x$轴交于点 $D$，点 $E(4,n)$在抛物线上．

（1）求直线 $\mathit{AE}$的解析式；

（2）点 $P$为直线 $\mathit{CE}$下方抛物线上的一点，连接 $\mathit{PC}$， $\mathit{PE}$．当 $\mathit{\Delta PCE}$的面积最大时，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{CB}$，点 $K$是线段 $\mathit{CB}$的中点，点 $M$是 $\mathit{CP}$上的一点，点 $N$是 $\mathit{CD}$上的一点，求 $\mathit{KM}+\mathit{MN}+\mathit{NK}$的最小值；

（3）点 $G$是线段 $\mathit{CE}$的中点，将抛物线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x-\sqrt{3}$沿 $x$轴正方向平移得到新抛物线 $y\text{'}$， $y\text{'}$经过点 $D$， $y\text{'}$的顶点为点 $F$．在新抛物线 $y\text{'}$的对称轴上，是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta FGQ}$为等腰三角形？若存在，直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$ 的图象与一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $A$ 的坐标为 $(0,1)$ ，点 $B$ 在第一象限内，点 $C$ 是二次函数图象的顶点，点 $M$ 是一次函数 $y=\mathit{kx}+b(k\ne 0)$ 的图象与 $x$ 轴的交点，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$ ，且 $S_{\mathit{\Delta AMO}}:S_{\mathit{四边形}\mathit{AONB}}=1:48$ ．

（1）求直线 $\mathit{AB}$ 和直线 $\mathit{BC}$ 的解析式；

（2）点 $P$ 是线段 $\mathit{AB}$ 上一点，点 $D$ 是线段 $\mathit{BC}$ 上一点， $\mathit{PD}//x$ 轴，射线 $\mathit{PD}$ 与抛物线交于点 $G$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp x$ 轴于点 $E$ ， $\mathit{PF}\perp \mathit{BC}$ 于点 $F$ ．当 $\mathit{PF}$ 与 $\mathit{PE}$ 的乘积最大时，在线段 $\mathit{AB}$ 上找一点 $H$ （不与点 $A$ ，点 $B$ 重合），使 $\mathit{GH}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{BH}$ 的值最小，求点 $H$ 的坐标和 $\mathit{GH}+\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{BH}$ 的最小值；

（3）如图2，直线 $\mathit{AB}$ 上有一点 $K(3,4)$ ，将二次函数 $y=\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$ 沿直线 $\mathit{BC}$ 平移，平移的距离是 $t(t⩾0)$ ，平移后抛物线上点 $A$ ，点 $C$ 的对应点分别为点 $A\text{'}$ ，点 $C\text{'}$ ；当△ $A\text{'}C\text{'}K$ 是直角三角形时，求 $t$ 的值．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，抛物线的顶点为点 $E$ ．

（1）判断 $\mathit{\Delta ABC}$ 的形状，并说明理由；

（2）经过 $B$ ， $C$ 两点的直线交抛物线的对称轴于点 $D$ ，点 $P$ 为直线 $\mathit{BC}$ 上方抛物线上的一动点，当 $\mathit{\Delta PCD}$ 的面积最大时， $Q$ 从点 $P$ 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 $M$ 处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 $y$ 轴上的点 $N$ 处，最后沿适当的路径运动到点 $A$ 处停止．当点 $Q$ 的运动路径最短时，求点 $N$ 的坐标及点 $Q$ 经过的最短路径的长；

（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点 $E$ 在射线 $\mathit{AE}$ 上移动，点 $E$ 平移后的对应点为点 $E\text{'}$ ，点 $A$ 的对应点为点 $A\text{'}$ ，将 $\mathit{\Delta AOC}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转至△ $A_{1}O{C}_1$ 的位置，点 $A$ ， $C$ 的对应点分别为点 $A_1$ ， $C_1$ ，且点 $A_1$ 恰好落在 $\mathit{AC}$ 上，连接 $C_{1}A\text{'}$ ， $C_{1}E\text{'}$ ，△ $A\text{'}{C}_{1}E\text{'}$ 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 $E\text{'}$ 的坐标；若不能，请说明理由．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot C$的直径， $M$、 $D$两点在 $\mathit{AB}$的延长线上， $E$是 $\odot C$上的点，且 $D{E}^2=\mathit{DB}·\mathit{DA}$，延长 $\mathit{AE}$至 $F$，使得 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，设 $\mathit{BF}=10$， $\cos \angle \mathit{BED}=\frac{4}{5}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DEB}\backsim \mathit{\Delta DAE}$；

（2）求 $\mathit{DA}$， $\mathit{DE}$的长；

（3）若点 $F$在 $B$、 $E$、 $M$三点确定的圆上，求 $\mathit{MD}$的长．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$是 $\mathit{CD}$的中点，点 $F$是 $\mathit{BC}$边上的点， $\mathit{AF}=\mathit{AD}+\mathit{FC}$，平行四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为 $S$，由 $A$、 $E$、 $F$三点确定的圆的周长为 $l$．

（1）若 $\mathit{\Delta ABE}$的面积为30，直接写出 $S$的值；

（2）求证： $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{DAF}$；

（3）若 $\mathit{AE}=\mathit{BE}$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=5$，求 $l$的值．

如图：在平面直角坐标系中，直线 $l:y=\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}$与 $x$轴交于点 $A$，经过点 $A$的抛物线 $y=a{x}^2-3x+c$的对称轴是 $x=\frac{3}{2}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线 $l$经过原点 $O$，得到直线 $m$，点 $P$是直线 $m$上任意一点， $\mathit{PB}\perp x$轴于点 $B$， $\mathit{PC}\perp y$轴于点 $C$，若点 $E$在线段 $\mathit{OB}$上，点 $F$在线段 $\mathit{OC}$的延长线上，连接 $\mathit{PE}$， $\mathit{PF}$，且 $\mathit{PF}=3\mathit{PE}$．求证： $\mathit{PE}\perp \mathit{PF}$；

（3）若（2）中的点 $P$坐标为 $(6,2)$，点 $E$是 $x$轴上的点，点 $F$是 $y$轴上的点，当 $\mathit{PE}\perp \mathit{PF}$时，抛物线上是否存在点 $Q$，使四边形 $\mathit{PEQF}$是矩形？如果存在，请求出点 $Q$的坐标，如果不存在，请说明理由．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $P$为 $\mathit{CD}$边上一点 $(\mathit{DP}<\mathit{CP})$， $\angle \mathit{APB}=90°$．将 $\mathit{\Delta ADP}$沿 $\mathit{AP}$翻折得到△ $\mathit{AD}\text{'}P$， $\mathit{PD}\text{'}$的延长线交边 $\mathit{AB}$于点 $M$，过点 $B$作 $\mathit{BN}//\mathit{MP}$交 $\mathit{DC}$于点 $N$．

（1）求证： $A{D}^2=\mathit{DP}·\mathit{PC}$；

（2）请判断四边形 $\mathit{PMBN}$的形状，并说明理由；

（3）如图2，连接 $\mathit{AC}$，分别交 $\mathit{PM}$， $\mathit{PB}$于点 $E$， $F$．若 $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{AD}}=\frac{1}{2}$，求 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{AE}}$的值．

已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线， $C$是 $\odot O$上的点， $\mathit{AC}//\mathit{OP}$， $M$是直径 $\mathit{AB}$上的动点， $A$与直线 $\mathit{CM}$上的点连线距离的最小值为 $d$， $B$与直线 $\mathit{CM}$上的点连线距离的最小值为 $f$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）设 $\mathit{OP}=\frac{3}{2}\mathit{AC}$，求 $\angle \mathit{CPO}$的正弦值；

（3）设 $\mathit{AC}=9$， $\mathit{AB}=15$，求 $d+f$的取值范围．

已知：如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3$与坐标轴分别交于点 $A$， $B(-3,0)$， $C(1,0)$，点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线解析式；

（2）当点 $P$运动到什么位置时， $\mathit{\Delta PAB}$的面积最大？

（3）过点 $P$作 $x$轴的垂线，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$，再过点 $P$作 $\mathit{PE}//x$轴交抛物线于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$，请问是否存在点 $P$使 $\mathit{\Delta PDE}$为等腰直角三角形？若存在，求点 $P$的坐标；若不存在，说明理由．