抛物线$y=-\frac{\sqrt{6}}{6}{x}^2-\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\sqrt{6}$与$x$轴交于点$A$，$B$（点$A$在点$B$的左边），与$y$轴交于点$C$，点$D$是该抛物线的顶点．

（1）如图1，连接$\mathit{CD}$，求线段$\mathit{CD}$的长；

（2）如图2，点$P$是直线$\mathit{AC}$上方抛物线上一点，$\mathit{PF}\perp x$轴于点$F$，$\mathit{PF}$与线段$\mathit{AC}$交于点$E$；将线段$\mathit{OB}$沿$x$轴左右平移，线段$\mathit{OB}$的对应线段是$O_1{B}_1$，当$\mathit{PE}+\frac{1}{2}\mathit{EC}$的值最大时，求四边形$P{O}_1{B}_{1}C$周长的最小值，并求出对应的点$O_1$的坐标；

（3）如图3，点$H$是线段$\mathit{AB}$的中点，连接$\mathit{CH}$，将$\mathit{\Delta OBC}$沿直线$\mathit{CH}$翻折至△$O_2{B}_{2}C$的位置，再将△$O_2{B}_{2}C$绕点$B_2$旋转一周，在旋转过程中，点$O_2$，$C$的对应点分别是点$O_3$，$C_1$，直线$O_3{C}_1$分别与直线$\mathit{AC}$，$x$轴交于点$M$，$N$．那么，在△$O_2{B}_{2}C$的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使$\mathit{\Delta AMN}$是以$\mathit{MN}$为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段$O_{2}M$的长；若不存在，请说明理由．