如图：在平面直角坐标系中，直线l:y13x43与x轴交于点A

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图：在平面直角坐标系中，直线 $l : y = \frac{1}{3} x - \frac{4}{3}$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，经过点 $A$ 的抛物线 $y = a x^{2} - 3 x + c$ 的对称轴是 $x = \frac{3}{2}$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线 $l$ 经过原点 $O$ ，得到直线 $m$ ，点 $P$ 是直线 $m$ 上任意一点， $PB ⊥ x$ 轴于点 $B$ ， $PC ⊥ y$ 轴于点 $C$ ，若点 $E$ 在线段 $OB$ 上，点 $F$ 在线段 $OC$ 的延长线上，连接 $PE$ ， $PF$ ，且 $PF = 3 PE$ ．求证： $PE ⊥ PF$ ；

（3）若（2）中的点 $P$ 坐标为 $(6, 2)$ ，点 $E$ 是 $x$ 轴上的点，点 $F$ 是 $y$ 轴上的点，当 $PE ⊥ PF$ 时，抛物线上是否存在点 $Q$ ，使四边形 $PEQF$ 是矩形？如果存在，请求出点 $Q$ 的坐标，如果不存在，请说明理由．

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探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y = x + | - 2 x + 6 | + m$ 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y$	$\dots$	6	5	4	$a$	2	1	$b$	7	$\dots$

（1）写出函数关系式中 $m$ 及表格中 $a$ ， $b$ 的值：

$m =$ 　　， $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：　　；

（3）已知函数 $y = \frac{16}{x}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $x + | - 2 x + 6 | + m > \frac{16}{x}$ 的解集．

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如图，四边形 $ABCD$ 为平行四边形，连接 $AC$ ，且 $AC = 2 AB$ ．请用尺规完成基本作图：作出 $∠ BAC$ 的角平分线与 $BC$ 交于点 $E$ ．连接 $BD$ 交 $AE$ 于点 $F$ ，交 $AC$ 于点 $O$ ，猜想线段 $BF$ 和线段 $DF$ 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

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2021年是中国共产党建党100周年，某校开展了全校教师学习党史活动并进行了党史知识竞赛，从七、八年级中各随机抽取了20名教师，统计这部分教师的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及以上为优秀）．相关数据统计、整理如下：

抽取七年级教师的竞赛成绩（单位：分） $:$

6，7，7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，10，10，10，10．

七八年级教师竞赛成绩统计表

年级	七年级	八年级
平均数	8.5	8.5
中位数	$a$	9
众数	8	$b$
优秀率	$45 %$	$55 %$

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空： $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）估计该校七年级120名教师中竞赛成绩达到8分及以上的人数；

（3）根据以上数据分析，从一个方面评价两个年级教师学习党史的竞赛成绩谁更优异．

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计算：

（1） $a (2 a + 3 b) + {(a - b)}^{2}$ ；

（2） $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 2 x + 1} \div (x + \frac{3 - x^{2}}{x + 1})$ ．

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在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $D$ 是边 $BC$ 上一动点，连接 $AD$ ，将 $AD$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $AE$ 的位置，使得 $∠ DAE + ∠ BAC = 180 °$ ．

（1）如图1，当 $∠ BAC = 90 °$ 时，连接 $BE$ ，交 $AC$ 于点 $F$ ．若 $BE$ 平分 $∠ ABC$ ， $BD = 2$ ，求 $AF$ 的长；

（2）如图2，连接 $BE$ ，取 $BE$ 的中点 $G$ ，连接 $AG$ ．猜想 $AG$ 与 $CD$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $DG$ ， $CE$ ．若 $∠ BAC = 120 °$ ，当 $BD > CD$ ， $∠ AEC = 150 °$ 时，请直接写出 $\frac{BD - DG}{CE}$ 的值．

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