已知$\mathit{AB}$是$\odot O$的直径，$\mathit{PB}$是$\odot O$的切线，$C$是$\odot O$上的点，$\mathit{AC}//\mathit{OP}$，$M$是直径$\mathit{AB}$上的动点，$A$与直线$\mathit{CM}$上的点连线距离的最小值为$d$，$B$与直线$\mathit{CM}$上的点连线距离的最小值为$f$．

（1）求证：$\mathit{PC}$是$\odot O$的切线；

（2）设$\mathit{OP}=\frac{3}{2}\mathit{AC}$，求$\angle \mathit{CPO}$的正弦值；

（3）设$\mathit{AC}=9$，$\mathit{AB}=15$，求$d+f$的取值范围．