初中数学试题

如图，已知直线 $\mathit{AB}$与抛物线 $C:y=a{x}^2+2x+c$相交于点 $A(-1,0)$和点 $B(2,3)$两点．

（1）求抛物线 $C$函数表达式；

（2）若点 $M$是位于直线 $\mathit{AB}$上方抛物线上的一动点，以 $\mathit{MA}$、 $\mathit{MB}$为相邻的两边作平行四边形 $\mathit{MANB}$，当平行四边形 $\mathit{MANB}$的面积最大时，求此时平行四边形 $\mathit{MANB}$的面积 $S$及点 $M$的坐标；

（3）在抛物线 $C$的对称轴上是否存在定点 $F$，使抛物线 $C$上任意一点 $P$到点 $F$的距离等于到直线 $y=\frac{17}{4}$的距离？若存在，求出定点 $F$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(3,2)$，且与直线 $y=-x+\frac{7}{2}$交于 $B$、 $C$两点，点 $B$的坐标为 $(4,m)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $D$为抛物线上位于直线 $\mathit{BC}$上方的一点，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp x$轴交直线 $\mathit{BC}$于点 $E$，点 $P$为对称轴上一动点，当线段 $\mathit{DE}$的长度最大时，求 $\mathit{PD}+\mathit{PA}$的最小值；

（3）设点 $M$为抛物线的顶点，在 $y$轴上是否存在点 $Q$，使 $\angle \mathit{AQM}=45°$？若存在，求点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知抛物线 $y=a{x}^2-2x+c$与直线 $y=\mathit{kx}+b$都经过 $A(0,-3)$、 $B(3,0)$两点，该抛物线的顶点为 $C$．

（1）求此抛物线和直线 $\mathit{AB}$的解析式；

（2）设直线 $\mathit{AB}$与该抛物线的对称轴交于点 $E$，在射线 $\mathit{EB}$上是否存在一点 $M$，过 $M$作 $x$轴的垂线交抛物线于点 $N$，使点 $M$、 $N$、 $C$、 $E$是平行四边形的四个顶点？若存在，求点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设点 $P$是直线 $\mathit{AB}$下方抛物线上的一动点，当 $\mathit{\Delta PAB}$面积最大时，求点 $P$的坐标，并求 $\mathit{\Delta PAB}$面积的最大值．

已知二次函数 $y=a{x}^2(a\ne 0)$的图象过点 $(2,-1)$，点 $P(P$与 $O$不重合）是图象上的一点，直线 $l$过点 $(0,1)$且平行于 $x$轴． $\mathit{PM}\perp l$于点 $M$，点 $F(0,-1)$．

（1）求二次函数的解析式；

（2）求证：点 $P$在线段 $\mathit{MF}$的中垂线上；

（3）设直线 $\mathit{PF}$交二次函数的图象于另一点 $Q$， $\mathit{QN}\perp l$于点 $N$，线段 $\mathit{MF}$的中垂线交 $l$于点 $R$，求 $\frac{\mathit{MR}}{\mathit{RN}}$的值；

（4）试判断点 $R$与以线段 $\mathit{PQ}$为直径的圆的位置关系．

如图，顶点为 $P(3,3)$的二次函数图象与 $x$轴交于点 $A(6,0)$，点 $B$在该图象上， $\mathit{OB}$交其对称轴 $l$于点 $M$，点 $M$、 $N$关于点 $P$对称，连接 $\mathit{BN}$、 $\mathit{ON}$．

（1）求该二次函数的关系式．

（2）若点 $B$在对称轴 $l$右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：

①连接 $\mathit{OP}$，当 $\mathit{OP}=\frac{1}{2}\mathit{MN}$时，请判断 $\mathit{\Delta NOB}$的形状，并求出此时点 $B$的坐标．

②求证： $\angle \mathit{BNM}=\angle \mathit{ONM}$．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A(0,2)$，动点 $P$在 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$的图象上运动（不与 $O$重合），连接 $\mathit{AP}$．过点 $P$作 $\mathit{PQ}\perp \mathit{AP}$，交 $x$轴于点 $Q$，连接 $\mathit{AQ}$．

（1）求线段 $\mathit{AP}$长度的取值范围；

（2）试问：点 $P$运动的过程中， $\angle \mathit{QAP}$是否为定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．

（3）当 $\mathit{\Delta OPQ}$为等腰三角形时，求点 $Q$的坐标．

两条抛物线 $C_1:y_1=3x^2-6x-1$与 $C_2:y_2=x^2-\mathit{mx}+n$的顶点相同．

（1）求抛物线 $C_2$的解析式；

（2）点 $A$是抛物线 $C_2$在第四象限内图象上的一动点，过点 $A$作 $\mathit{AP}\perp x$轴， $P$为垂足，求 $\mathit{AP}+\mathit{OP}$的最大值；

（3）设抛物线 $C_2$的顶点为点 $C$，点 $B$的坐标为 $(-1,-4)$，问在 $C_2$的对称轴上是否存在点 $Q$，使线段 $\mathit{QB}$绕点 $Q$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{QB}\text{'}$，且点 $B\text{'}$恰好落在抛物线 $C_2$上？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$，点 $B(-3,0)$，且 $\mathit{OB}=\mathit{OC}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$在抛物线上，且 $\angle \mathit{POB}=\angle \mathit{ACB}$，求点 $P$的坐标；

（3）抛物线上两点 $M$， $N$，点 $M$的横坐标为 $m$，点 $N$的横坐标为 $m+4$．点 $D$是抛物线上 $M$， $N$之间的动点，过点 $D$作 $y$轴的平行线交 $\mathit{MN}$于点 $E$．

①求 $\mathit{DE}$的最大值；

②点 $D$关于点 $E$的对称点为 $F$，当 $m$为何值时，四边形 $\mathit{MDNF}$为矩形．

如图，在以点 $O$为中心的正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=4$，连接 $\mathit{AC}$，动点 $E$从点 $O$出发沿 $O\to C$以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点 $C$停止．在运动过程中， $\mathit{\Delta ADE}$的外接圆交 $\mathit{AB}$于点 $F$，连接 $\mathit{DF}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$，连接 $\mathit{EF}$，将 $\mathit{\Delta EFG}$沿 $\mathit{EF}$翻折，得到 $\mathit{\Delta EFH}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DEF}$是等腰直角三角形；

（2）当点 $H$恰好落在线段 $\mathit{BC}$上时，求 $\mathit{EH}$的长；

（3）设点 $E$运动的时间为 $t$秒， $\mathit{\Delta EFG}$的面积为 $S$，求 $S$关于时间 $t$的关系式．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-\frac{4}{9}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-5,0)$和点 $B(1,0)$．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）点 $P$是抛物线上 $A$、 $D$之间的一点，过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp x$轴于点 $E$， $\mathit{PG}\perp y$轴，交抛物线于点 $G$，过点 $G$作 $\mathit{GF}\perp x$轴于点 $F$，当矩形 $\mathit{PEFG}$的周长最大时，求点 $P$的横坐标；

（3）如图2，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$，点 $M$在线段 $\mathit{AB}$上（不与 $A$、 $B$重合），作 $\angle \mathit{DMN}=\angle \mathit{DBA}$， $\mathit{MN}$交线段 $\mathit{AD}$于点 $N$，是否存在这样点 $M$，使得 $\mathit{\Delta DMN}$为等腰三角形？若存在，求出 $\mathit{AN}$的长；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-2,0)$， $C(0,-6)$，其对称轴为直线 $x=2$．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若直线 $y=-\frac{1}{3}x+m$将 $\mathit{\Delta AOC}$的面积分成相等的两部分，求 $m$的值；

（3）点 $B$是该二次函数图象与 $x$轴的另一个交点，点 $D$是直线 $x=2$上位于 $x$轴下方的动点，点 $E$是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线 $x=2$右侧．若以点 $E$为直角顶点的 $\mathit{\Delta BED}$与 $\mathit{\Delta AOC}$相似，求点 $E$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象过点 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$、 $C(0,3)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PAC}$的周长最小，若存在，请求出点 $P$的坐标及 $\mathit{\Delta PAC}$的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在 $x$轴上方的抛物线上是否存在点 $M$（不与 $C$点重合），使得 $S_{\mathit{\Delta PAM}}=S_{\mathit{\Delta PAC}}$？若存在，请求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a(x+2)(x-6)$与 $x$轴相交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于 $C$点，且 $\tan \angle \mathit{CAB}=\frac{3}{2}$．设抛物线的顶点为 $M$，对称轴交 $x$轴于点 $N$．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$为抛物线的对称轴上一点， $Q(n,0)$为 $x$轴上一点，且 $\mathit{PQ}\perp \mathit{PC}$．

①当点 $P$在线段 $\mathit{MN}$（含端点）上运动时，求 $n$的变化范围；

②在①的条件下，当 $n$取最大值时，求点 $P$到线段 $\mathit{CQ}$的距离；

③在①的条件下，当 $n$取最大值时，将线段 $\mathit{CQ}$向上平移 $t$个单位长度，使得线段 $\mathit{CQ}$与抛物线有两个交点，求 $t$的取值范围．

如图，直线 $y=-x+4$与 $x$轴， $y$轴分别交于 $A$， $B$两点，过 $A$， $B$两点的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $C(-1,0)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{BC}$，若点 $E$是线段 $\mathit{AC}$上的一个动点（不与 $A$， $C$重合），过点 $E$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，当 $\mathit{\Delta BEF}$的面积是 $\frac{5}{2}$时，求点 $E$的坐标；

（3）在（2）的结论下，将 $\mathit{\Delta BEF}$绕点 $F$旋转 $180°$得△ $B\text{'}E\text{'}F$，试判断点 $E\text{'}$是否在抛物线上，并说明理由．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点 $(A$在 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $N$，过 $A$点的直线 $l:y=\mathit{kx}+n$与 $y$轴交于点 $C$，与抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的另一个交点为 $D$，已知 $A(-1,0)$， $D(5,-6)$， $P$点为抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$上一动点（不与 $A$、 $D$重合）．

（1）求抛物线和直线 $l$的解析式；

（2）当点 $P$在直线 $l$上方的抛物线上时，过 $P$点作 $\mathit{PE}//x$轴交直线 $l$于点 $E$，作 $\mathit{PF}//y$轴交直线 $l$于点 $F$，求 $\mathit{PE}+\mathit{PF}$的最大值；

（3）设 $M$为直线 $l$上的点，探究是否存在点 $M$，使得以点 $N$、 $C$， $M$、 $P$为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．