如图，在以点$O$为中心的正方形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AD}=4$，连接$\mathit{AC}$，动点$E$从点$O$出发沿$O\to C$以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点$C$停止．在运动过程中，$\mathit{\Delta ADE}$的外接圆交$\mathit{AB}$于点$F$，连接$\mathit{DF}$交$\mathit{AC}$于点$G$，连接$\mathit{EF}$，将$\mathit{\Delta EFG}$沿$\mathit{EF}$翻折，得到$\mathit{\Delta EFH}$．

（1）求证：$\mathit{\Delta DEF}$是等腰直角三角形；

（2）当点$H$恰好落在线段$\mathit{BC}$上时，求$\mathit{EH}$的长；

（3）设点$E$运动的时间为$t$秒，$\mathit{\Delta EFG}$的面积为$S$，求$S$关于时间$t$的关系式．