两条抛物线$C_1:y_1=3x^2-6x-1$与$C_2:y_2=x^2-\mathit{mx}+n$的顶点相同．

（1）求抛物线$C_2$的解析式；

（2）点$A$是抛物线$C_2$在第四象限内图象上的一动点，过点$A$作$\mathit{AP}\perp x$轴，$P$为垂足，求$\mathit{AP}+\mathit{OP}$的最大值；

（3）设抛物线$C_2$的顶点为点$C$，点$B$的坐标为$(-1,-4)$，问在$C_2$的对称轴上是否存在点$Q$，使线段$\mathit{QB}$绕点$Q$顺时针旋转$90°$得到线段$\mathit{QB}\text{'}$，且点$B\text{'}$恰好落在抛物线$C_2$上？若存在，求出点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由．