如图1，在平面直角坐标系中，抛物线$y=-\frac{4}{9}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点$A(-5,0)$和点$B(1,0)$．

（1）求抛物线的解析式及顶点$D$的坐标；

（2）点$P$是抛物线上$A$、$D$之间的一点，过点$P$作$\mathit{PE}\perp x$轴于点$E$，$\mathit{PG}\perp y$轴，交抛物线于点$G$，过点$G$作$\mathit{GF}\perp x$轴于点$F$，当矩形$\mathit{PEFG}$的周长最大时，求点$P$的横坐标；

（3）如图2，连接$\mathit{AD}$、$\mathit{BD}$，点$M$在线段$\mathit{AB}$上（不与$A$、$B$重合），作$\angle \mathit{DMN}=\angle \mathit{DBA}$，$\mathit{MN}$交线段$\mathit{AD}$于点$N$，是否存在这样点$M$，使得$\mathit{\Delta DMN}$为等腰三角形？若存在，求出$\mathit{AN}$的长；若不存在，请说明理由．