初中数学试题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过原点 $O$，顶点为 $A(2,-4)$．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点 $P$为抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的对称轴上的一点，点 $Q$在该抛物线上，当四边

形 $\mathit{OAQP}$为菱形时，求出点 $P$的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$在第一象限的图象上是否存在一点 $M$，使得点 $M$到直线 $\mathit{OP}$的距离与其到 $x$轴的距离相等？若存在，求出直线 $\mathit{OM}$的函数解析式；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴的负半轴交于点 $C$，已知抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{\sqrt{3}}{2}$， $B$、 $C$两点的坐标分别为 $B(2\sqrt{3}$， $0)$， $C(0,-3)$．点 $P$为直线 $\mathit{BC}$下方的抛物线上的一个动点（不与 $B$、 $C$两点重合）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1，连接 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$得到 $\mathit{\Delta PBC}$，问是否存在着这样的点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PBC}$的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点 $P$的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $\mathit{AP}$交线段 $\mathit{BC}$于点 $D$，点 $E$为线段 $\mathit{AD}$的中点，过点 $D$作 $\mathit{DM}\perp \mathit{AB}$于点 $M$， $\mathit{DN}\perp \mathit{AC}$于点 $N$，连接 $\mathit{EM}$、 $\mathit{EN}$，则在点 $P$的运动过程中， $\angle \mathit{MEN}$的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

如图1，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$过点 $A(1,0)$， $B(-3,0)$．

（1）求抛物线的解析式及其顶点 $C$的坐标；

（2）设点 $D$是 $x$轴上一点，当 $\tan (\angle \mathit{CAO}+\angle \mathit{CDO})=4$时，求点 $D$的坐标；

（3）如图2．抛物线与 $y$轴交于点 $E$，点 $P$是该抛物线上位于第二象限的点，线段 $\mathit{PA}$交 $\mathit{BE}$于点 $M$，交 $y$轴于点 $N$， $\mathit{\Delta BMP}$和 $\mathit{\Delta EMN}$的面积分别为 $m$、 $n$，求 $m-n$的最大值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-2,5)$，与 $x$轴相交于 $B(-1,0)$， $C(3,0)$两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点 $D$在抛物线的对称轴上，且位于 $x$轴的上方，将 $\mathit{\Delta BCD}$沿直线 $\mathit{BD}$翻折得到△ $B{C}^{\text{'}}D$，若点 $C^{\text{'}}$恰好落在抛物线的对称轴上，求点 $C^{\text{'}}$和点 $D$的坐标；

（3）设 $P$是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点 $Q$在抛物线的对称轴上，当 $\mathit{\Delta CPQ}$为等边三角形时，求直线 $\mathit{BP}$的函数表达式．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-5(a\ne 0)$经过 $x$轴上的点 $A(1,0)$和点 $B$及 $y$轴上的点 $C$，经过 $B$、 $C$两点的直线为 $y=x+n$．

①求抛物线的解析式．

②点 $P$从 $A$出发，在线段 $\mathit{AB}$上以每秒1个单位的速度向 $B$运动，同时点 $E$从 $B$出发，在线段 $\mathit{BC}$上以每秒2个单位的速度向 $C$运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为 $t$秒，求 $t$为何值时， $\mathit{\Delta PBE}$的面积最大并求出最大值．

③过点 $A$作 $\mathit{AM}\perp \mathit{BC}$于点 $M$，过抛物线上一动点 $N$（不与点 $B$、 $C$重合）作直线 $\mathit{AM}$的平行线交直线 $\mathit{BC}$于点 $Q$．若点 $A$、 $M$、 $N$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求点 $N$的横坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过原点 $O$，顶点为 $A(2,-4)$．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点 $P$为抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的对称轴上的一点，点 $Q$在该抛物线上，当四边

形 $\mathit{OAQP}$为菱形时，求出点 $P$的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$在第一象限的图象上是否存在一点 $M$，使得点 $M$到直线 $\mathit{OP}$的距离与其到 $x$轴的距离相等？若存在，求出直线 $\mathit{OM}$的函数解析式；若不存在，请说明理由．

小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，正方形 $\mathit{PQMN}$的边 $\mathit{QM}$在 $\mathit{BC}$上，顶点 $P$， $N$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$上，若 $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AD}=h$，求正方形 $\mathit{PQMN}$的边长（用 $a$， $h$表示）．

（2）操作：如何画出这个正方形 $\mathit{PQMN}$呢？

如图2，小波画出了图1的 $\mathit{\Delta ABC}$，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在 $\mathit{AB}$上任取一点 $P^{\text{'}}$，画正方形 $P^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}{N}^{\text{'}}$，使点 $Q^{\text{'}}$， $M^{\text{'}}$在 $\mathit{BC}$边上，点 $N^{\text{'}}$在 $\mathit{\Delta ABC}$内，然后连结 $B{N}^{\text{'}}$，并延长交 $\mathit{AC}$于点 $N$，画 $\mathit{NM}\perp \mathit{BC}$于点 $M$， $\mathit{NP}\perp \mathit{NM}$交 $\mathit{AB}$于点 $P$， $\mathit{PQ}\perp \mathit{BC}$于点 $Q$，得到四边形 $\mathit{PQMN}$．

（3）推理：证明图2中的四边形 $\mathit{PQMN}$是正方形．

（4）拓展：小波把图2中的线段 $\mathit{BN}$称为“波利亚线”，在该线上截取 $\mathit{NE}=\mathit{NM}$，连结 $\mathit{EQ}$， $\mathit{EM}$（如图 $3)$，当 $\angle \mathit{QEM}=90°$时，求“波利亚线” $\mathit{BN}$的长（用 $a$， $h$表示）．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y=-\frac{1}{2}x+4$分别交 $x$轴、 $y$轴于点 $B$， $C$，正方形 $\mathit{AOCD}$的顶点 $D$在第二象限内， $E$是 $\mathit{BC}$中点， $\mathit{OF}\perp \mathit{DE}$于点 $F$，连结 $\mathit{OE}$．动点 $P$在 $\mathit{AO}$上从点 $A$向终点 $O$匀速运动，同时，动点 $Q$在直线 $\mathit{BC}$上从某一点 $Q_1$向终点 $Q_2$匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点 $B$的坐标和 $\mathit{OE}$的长．

（2）设点 $Q_2$为 $(m,n)$，当 $\frac{n}{m}=\frac{1}{7}\tan \angle \mathit{EOF}$时，求点 $Q_2$的坐标．

（3）根据（2）的条件，当点 $P$运动到 $\mathit{AO}$中点时，点 $Q$恰好与点 $C$重合．

①延长 $\mathit{AD}$交直线 $\mathit{BC}$于点 $Q_3$，当点 $Q$在线段 $Q_2{Q}_3$上时，设 $Q_{3}Q=s$， $\mathit{AP}=t$，求 $s$关于 $t$的函数表达式．

②当 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{\Delta OEF}$的一边平行时，求所有满足条件的 $\mathit{AP}$的长．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为2， $E$为 $\mathit{AB}$的中点， $P$是 $\mathit{BA}$延长线上的一点，连接 $\mathit{PC}$交 $\mathit{AD}$于点 $F$， $\mathit{AP}=\mathit{FD}$．

（1）求 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AP}}$的值；

（2）如图1，连接 $\mathit{EC}$，在线段 $\mathit{EC}$上取一点 $M$，使 $\mathit{EM}=\mathit{EB}$，连接 $\mathit{MF}$，求证： $\mathit{MF}=\mathit{PF}$；

（3）如图2，过点 $E$作 $\mathit{EN}\perp \mathit{CD}$于点 $N$，在线段 $\mathit{EN}$上取一点 $Q$，使 $\mathit{AQ}=\mathit{AP}$，连接 $\mathit{BQ}$， $\mathit{BN}$．将 $\mathit{\Delta AQB}$绕点 $A$旋转，使点 $Q$旋转后的对应点 $Q^{\text{'}}$落在边 $\mathit{AD}$上．请判断点 $B$旋转后的对应点 $B^{\text{'}}$是否落在线段 $\mathit{BN}$上，并说明理由．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=a$， $\mathit{BC}=b$，点 $M$， $N$分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$上，点 $E$， $F$分别在边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AD}$上， $\mathit{MN}$， $\mathit{EF}$交于点 $P$，记 $k=\mathit{MN}:\mathit{EF}$．

（1）若 $a:b$的值为1，当 $\mathit{MN}\perp \mathit{EF}$时，求 $k$的值．

（2）若 $a:b$的值为 $\frac{1}{2}$，求 $k$的最大值和最小值．

（3）若 $k$的值为3，当点 $N$是矩形的顶点， $\angle \mathit{MPE}=60°$， $\mathit{MP}=\mathit{EF}=3\mathit{PE}$时，求 $a:b$的值．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AC}=6$， $\angle \mathit{BAC}=60°$， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}//\mathit{AC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，点 $M$是线段 $\mathit{AD}$上的动点，连结 $\mathit{BM}$并延长分别交 $\mathit{DE}$， $\mathit{AC}$于点 $F$、 $G$．

（1）求 $\mathit{CD}$的长．

（2）若点 $M$是线段 $\mathit{AD}$的中点，求 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{DF}}$的值．

（3）请问当 $\mathit{DM}$的长满足什么条件时，在线段 $\mathit{DE}$上恰好只有一点 $P$，使得 $\angle \mathit{CPG}=60°$？

如图1， $\odot O$经过等边 $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $A$， $C$（圆心 $O$在 $\mathit{\Delta ABC}$内），分别与 $\mathit{AB}$， $\mathit{CB}$的延长线交于点 $D$， $E$，连结 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}\perp \mathit{EC}$交 $\mathit{AE}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{BE}$．

（2）当 $\mathit{AF}:\mathit{EF}=3:2$， $\mathit{AC}=6$时，求 $\mathit{AE}$的长．

（3）设 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{EF}}=x$， $\tan \angle \mathit{DAE}=y$．

①求 $y$关于 $x$的函数表达式；

②如图2，连结 $\mathit{OF}$， $\mathit{OB}$，若 $\mathit{\Delta AEC}$的面积是 $\mathit{\Delta OFB}$面积的10倍，求 $y$的值．

如图，在等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AB}=14\sqrt{2}$，点 $D$， $E$分别在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上，将线段 $\mathit{ED}$绕点 $E$按逆时针方向旋转 $90°$得到 $\mathit{EF}$．

（1）如图1，若 $\mathit{AD}=\mathit{BD}$，点 $E$与点 $C$重合， $\mathit{AF}$与 $\mathit{DC}$相交于点 $O$．求证： $\mathit{BD}=2\mathit{DO}$．

（2）已知点 $G$为 $\mathit{AF}$的中点．

①如图2，若 $\mathit{AD}=\mathit{BD}$， $\mathit{CE}=2$，求 $\mathit{DG}$的长．

②若 $\mathit{AD}=6\mathit{BD}$，是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta DEG}$是直角三角形？若存在，求 $\mathit{CE}$的长；若不存在，试说明理由．

某农作物的生长率 $p$与温度 $t{(}^{°}\text{C})$有如下关系：如图1，当 $10⩽t⩽25$时可近似用函数 $p=\frac{1}{50}t-\frac{1}{5}$刻画；当 $25⩽t⩽37$时可近似用函数 $p=-\frac{1}{160}{(t-h)}^2+0.4$刻画．

（1）求 $h$的值．

（2）按照经验，该作物提前上市的天数 $m$（天 $)$与生长率 $p$满足函数关系：

生长率 $p$	0.2	0.25	0.3	0.35
提前上市的天数 $m$（天 $)$	0	5	10	15

①请运用已学的知识，求 $m$关于 $p$的函数表达式；

②请用含 $t$的代数式表示 $m$．

（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温 ${20}^{°}\text{C}$时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本 $w$（元 $)$与大棚温度 $t{(}^{°}\text{C})$之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．

如图1，已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，四边形 $\mathit{OABC}$是矩形，点 $A$， $C$分别在 $x$轴和 $y$轴的正半轴上，连结 $\mathit{AC}$， $\mathit{OA}=3$， $\tan \angle \mathit{OAC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$， $D$是 $\mathit{BC}$的中点．

（1）求 $\mathit{OC}$的长和点 $D$的坐标；

（2）如图2， $M$是线段 $\mathit{OC}$上的点， $\mathit{OM}=\frac{2}{3}\mathit{OC}$，点 $P$是线段 $\mathit{OM}$上的一个动点，经过 $P$， $D$， $B$三点的抛物线交 $x$轴的正半轴于点 $E$，连结 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$．

①将 $\mathit{\Delta DBF}$沿 $\mathit{DE}$所在的直线翻折，若点 $B$恰好落在 $\mathit{AC}$上，求此时 $\mathit{BF}$的长和点 $E$的坐标；

②以线段 $\mathit{DF}$为边，在 $\mathit{DF}$所在直线的右上方作等边 $\mathit{\Delta DFG}$，当动点 $P$从点 $O$运动到点 $M$时，点 $G$也随之运动，请直接写出点 $G$运动路径的长．