如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过原点$O$，顶点为$A(2,-4)$．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点$P$为抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的对称轴上的一点，点$Q$在该抛物线上，当四边

形$\mathit{OAQP}$为菱形时，求出点$P$的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$在第一象限的图象上是否存在一点$M$，使得点$M$到直线$\mathit{OP}$的距离与其到$x$轴的距离相等？若存在，求出直线$\mathit{OM}$的函数解析式；若不存在，请说明理由．