初中数学试题

问题提出

（1）如图①，已知直线 $l$及 $l$外一点 $A$，试在直线 $l$上确定 $B$、 $C$两点，使 $\angle \mathit{BAC}=90°$，并画出这个 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$．

问题探究

（2）如图②， $O$是边长为28的正方形 $\mathit{ABCD}$的对称中心， $M$是 $\mathit{BC}$边上的中点，连接 $\mathit{OM}$．试在正方形 $\mathit{ABCD}$的边上确定点 $N$，使线段 $\mathit{ON}$和 $\mathit{OM}$将正方形 $\mathit{ABCD}$分割成面积之比为 $1:6$的两部分．求点 $N$到点 $M$的距离．

问题解决

（3）如图③，有一个矩形花园 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=30m$， $\mathit{BC}=40m$．根据设计要求，点 $E$、 $F$在对角线 $\mathit{BD}$上，且 $\angle \mathit{EAF}=60°$，并在四边形区域 $\mathit{AECF}$内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.4$， $\sqrt{3}\approx 1.7)$

问题提出

（1）如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A=120°$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=5$，则 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆半径 $R$的值为　　．

问题探究

（2）如图②， $\odot O$的半径为13，弦 $\mathit{AB}=24$， $M$是 $\mathit{AB}$的中点， $P$是 $\odot O$上一动点，求 $\mathit{PM}$的最大值．

问题解决

（3）如图③所示， $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$、 $\widehat{\mathit{BC}}$是某新区的三条规划路，其中 $\mathit{AB}=6\mathit{km}$， $\mathit{AC}=3\mathit{km}$， $\angle \mathit{BAC}=60°$， $\widehat{\mathit{BC}}$所对的圆心角为 $60°$，新区管委会想在 $\widehat{\mathit{BC}}$路边建物资总站点 $P$，在 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$路边分别建物资分站点 $E$、 $F$，也就是，分别在 $\widehat{\mathit{BC}}$、线段 $\mathit{AB}$和 $\mathit{AC}$上选取点 $P$、 $E$、 $F$．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按 $P\to E\to F\to P$的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路 $\mathit{PE}$、 $\mathit{EF}$和 $\mathit{FP}$．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段 $\mathit{PE}$、 $\mathit{EF}$、 $\mathit{FP}$之和最短，试求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}+\mathit{FP}$的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

问题提出

（1）如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=4$， $\angle A=135°$，点 $B$关于 $\mathit{AC}$所在直线的对称点为 $B\text{'}$，则 $\mathit{BB}\text{'}$的长度为　　．

问题探究

（2）如图②，半圆 $O$的直径 $\mathit{AB}=10$， $C$是 $\widehat{\mathit{AB}}$的中点，点 $D$在 $\widehat{\mathit{BC}}$上，且 $\widehat{\mathit{CD}}=2\widehat{\mathit{BD}}$， $P$是 $\mathit{AB}$上的动点，试求 $\mathit{PC}+\mathit{PD}$的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形花坛 $\mathit{AOB}$的半径为 $20m$， $\angle \mathit{AOB}=45°$．根据工程需要．现想在 $\widehat{\mathit{AB}}$上选点 $P$，在边 $\mathit{OA}$上选点 $E$，在边 $\mathit{OB}$上选点 $F$，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个 $\mathit{\Delta PEF}$，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带 $\mathit{PE}+\mathit{EF}+\mathit{FP}$的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的 $\mathit{\Delta PEF}$为等腰三角形．试求 $\mathit{PE}+\mathit{EF}+\mathit{FP}$的值最小时的等腰 $\mathit{\Delta PEF}$的面积．（安装损耗忽略不计）

问题提出

（1）如图①， $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $\mathit{AB}=12$，若点 $O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的内心，则 $\mathit{OA}$的长为　　；

问题探究

（2）如图②，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=12$， $\mathit{AD}=18$，如果点 $P$是 $\mathit{AD}$边上一点，且 $\mathit{AP}=3$，那么 $\mathit{BC}$边上是否存在一点 $Q$，使得线段 $\mathit{PQ}$将矩形 $\mathit{ABCD}$的面积平分？若存在，求出 $\mathit{PQ}$的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由 $\mathit{\Delta ABM}$草地和弦 $\mathit{AB}$与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在 $M$处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于 $\angle \mathit{AMB}$（即每次喷灌时喷灌龙头由 $\mathit{MA}$转到 $\mathit{MB}$，然后再转回，这样往复喷灌． $)$同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出 $\mathit{AB}=24m$， $\mathit{MB}=10m$， $\mathit{\Delta AMB}$的面积为 $96m^2$；过弦 $\mathit{AB}$的中点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$交 $\widehat{\mathit{AB}}$于点 $E$，又测得 $\mathit{DE}=8m$．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

（1）如图①，点 $A$是 $\odot O$外一点，点 $P$是 $\odot O$上一动点．若 $\odot O$的半径为3，且 $\mathit{OA}=5$，则点 $P$到点 $A$的最短距离为　 ；

（2）如图②，已知正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4，点 $M$、 $N$分别从点 $B$、 $C$同时出发，以相同的速度沿边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$方向向终点 $C$和 $D$运动，连接 $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$交于点 $P$，则点 $P$到点 $C$的最短距离为　　；

（3）如图③，在等边 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=6$，点 $M$、 $N$分别从点 $B$、 $C$同时出发，以相同的速度沿边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CA}$方向向终点 $C$和 $A$运动，连接 $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$交于点 $P$，求 $\mathit{\Delta APB}$面积的最大值，并说明理由．

问题提出

（1）如图①，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ ，请画出 $\mathit{\Delta ABC}$ 关于直线 $\mathit{AC}$ 对称的三角形．

问题探究

（2）如图②，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AD}=6$ ， $\mathit{AE}=4$ ， $\mathit{AF}=2$ ，是否在边 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 上分别存在点 $G$ 、 $H$ ，使得四边形 $\mathit{EFGH}$ 的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）如图③，有一矩形板材 $\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AB}=3$ 米， $\mathit{AD}=6$ 米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件，使 $\angle \mathit{EFG}=90°$ ， $\mathit{EF}=\mathit{FG}=\sqrt{5}$ 米， $\angle \mathit{EHG}=45°$ ，经研究，只有当点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ 分别在边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{AF}<\mathit{BF}$ ，并满足点 $H$ 在矩形 $\mathit{ABCD}$ 内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件？若能，求出裁得的四边形 $\mathit{EFGH}$ 部件的面积；若不能，请说明理由．

问题提出

（1）如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{BC}=6$ ， $D$ 为 $\mathit{BC}$ 上一点， $\mathit{AD}=4$ ，则 $\mathit{\Delta ABC}$ 面积的最大值是 　　．

问题探究

（2）如图②，已知矩形 $\mathit{ABCD}$ 的周长为12，求矩形 $\mathit{ABCD}$ 面积的最大值．

问题解决

（3）如图③， $\mathit{\Delta ABC}$ 是葛叔叔家的菜地示意图，其中 $\mathit{AB}=30$ 米， $\mathit{BC}=40$ 米， $\mathit{AC}=50$ 米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形 $\mathit{ABCD}$ ，且满足 $\angle \mathit{ADC}=60°$ ．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．

特例感知

（1）如图1，对于抛物线 $y_1=-x^2-x+1$， $y_2=-x^2-2x+1$， $y_3=-x^2-3x+1$，下列结论正确的序号是　　；

①抛物线 $y_1$， $y_2$， $y_3$都经过点 $C(0,1)$；

②抛物线 $y_2$， $y_3$的对称轴由抛物线 $y_1$的对称轴依次向左平移 $\frac{1}{2}$个单位得到；

③抛物线 $y_1$， $y_2$， $y_3$与直线 $y=1$的交点中，相邻两点之间的距离相等．

形成概念

（2）把满足 $y_n=-x^2-\mathit{nx}+1(n$为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．

知识应用

在（2）中，如图2．

①“系列平移抛物线”的顶点依次为 $P_1$， $P_2$， $P_3$， $\dots$， $P_n$，用含 $n$的代数式表示顶点 $P_n$的坐标，并写出该顶点纵坐标 $y$与横坐标 $x$之间的关系式；

②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”： $C_1$， $C_2$， $C_3$， $\dots$， $C_n$，其横坐标分别为 $-k-1$， $-k-2$， $-k-3$， $\dots$， $-k-n(k$为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．

③在②中，直线 $y=1$分别交“系列平移抛物线”于点 $A_1$， $A_2$， $A_3$， $\dots$， $A_n$，连接 $C_n{A}_n$， $C_{n-1}{A}_{n-1}$，判断 $C_n{A}_n$， $C_{n-1}{A}_{n-1}$是否平行？并说明理由．

我们定义：如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，把 $\mathit{AB}$绕点 $A$顺时针旋转 $\alpha (0°<\alpha <180°)$得到 $A{B}^{\text{'}}$，把 $\mathit{AC}$绕点 $A$逆时针旋转 $\beta$得到 $A{C}^{\text{'}}$，连接 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$．当 $\alpha +\beta =180°$时，我们称△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补三角形”，△ $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$边 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$上的中线 $\mathit{AD}$叫做 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补中线”，点 $A$叫做“旋补中心”．

特例感知：

（1）在图2，图3中，△ $A{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补三角形”， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的“旋补中线”．

①如图2，当 $\mathit{\Delta ABC}$为等边三角形时， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$的数量关系为 $\mathit{AD}=$　　 $\mathit{BC}$；

②如图3，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$， $\mathit{BC}=8$时，则 $\mathit{AD}$长为　　．

猜想论证：

（2）在图1中，当 $\mathit{\Delta ABC}$为任意三角形时，猜想 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$的数量关系，并给予证明．

拓展应用

（3）如图4，在四边形 $\mathit{ABCD}$， $\angle C=90°$， $\angle D=150°$， $\mathit{BC}=12$， $\mathit{CD}=2\sqrt{3}$， $\mathit{DA}=6$．在四边形内部是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PDC}$是 $\mathit{\Delta PAB}$的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求 $\mathit{\Delta PAB}$的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\frac{1}{2}x+c$交 $x$轴于 $A$， $B$两点，交 $y$轴于点 $C$．直线 $y=-\frac{1}{2}x-2$经过点 $A$， $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是抛物线上一动点，过点 $P$作 $x$轴的垂线，交直线 $\mathit{AC}$于点 $M$，设点 $P$的横坐标为 $m$．

①当 $\mathit{\Delta PCM}$是直角三角形时，求点 $P$的坐标；

②作点 $B$关于点 $C$的对称点 $B^{\text{'}}$，则平面内存在直线 $l$，使点 $M$， $B$， $B\text{'}$到该直线的距离都相等．当点 $P$在 $y$轴右侧的抛物线上，且与点 $B$不重合时，请直接写出直线 $l:y=\mathit{kx}+b$的解析式． $(k$， $b$可用含 $m$的式子表示）

如图，抛物线 $y=a{x}^2+6x+c$交 $x$轴于 $A$， $B$两点，交 $y$轴于点 $C$．直线 $y=x-5$经过点 $B$， $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点 $A$的直线交直线 $\mathit{BC}$于点 $M$．

①当 $\mathit{AM}\perp \mathit{BC}$时，过抛物线上一动点 $P$（不与点 $B$， $C$重合），作直线 $\mathit{AM}$的平行线交直线 $\mathit{BC}$于点 $Q$，若以点 $A$， $M$， $P$， $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求点 $P$的横坐标；

②连接 $\mathit{AC}$，当直线 $\mathit{AM}$与直线 $\mathit{BC}$的夹角等于 $\angle \mathit{ACB}$的2倍时，请直接写出点 $M$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点，交 $y$轴于点 $C(0,3)$，顶点 $F$的坐标为 $(1,4)$，对称轴交 $x$轴于点 $H$，直线 $y=\frac{1}{2}x+1$交 $x$轴于点 $D$，交 $y$轴于点 $E$，交抛物线的对称轴于点 $G$．

（1）求出 $a$， $b$， $c$的值．

（2）点 $M$为抛物线对称轴上一个动点，若 $\mathit{\Delta DGM}$是以 $\mathit{DG}$为腰的等腰三角形时，请求出点 $M$的坐标．

（3）点 $P$为抛物线上一个动点，当点 $P$关于直线 $y=\frac{1}{2}x+1$的对称点恰好落在 $x$轴上时，请直接写出此时点 $P$的坐标．

如图，直线 $y=-\frac{2}{3}x+c$与 $x$轴交于点 $A(3,0)$，与 $y$轴交于点 $B$，抛物线 $y=-\frac{4}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A$， $B$．

（1）求点 $B$的坐标和抛物线的解析式；

（2） $M(m,0)$为 $x$轴上一动点，过点 $M$且垂直于 $x$轴的直线与直线 $\mathit{AB}$及抛物线分别交于点 $P$， $N$．

①点 $M$在线段 $\mathit{OA}$上运动，若以 $B$， $P$， $N$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta APM}$相似，求点 $M$的坐标；

②点 $M$在 $x$轴上自由运动，若三个点 $M$， $P$， $N$中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称 $M$， $P$， $N$三点为“共谐点”．请直接写出使得 $M$， $P$， $N$三点成为“共谐点”的 $m$的值．

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-3$与直线 $y=x+3$交于点 $A(m,0)$和点 $B(2,n)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求 $m$， $n$的值及抛物线的解析式；

（2）在图1中，把 $\mathit{\Delta AOC}$平移，始终保持点 $A$的对应点 $P$在抛物线上，点 $C$， $O$的对应点分别为 $M$， $N$，连接 $\mathit{OP}$，若点 $M$恰好在直线 $y=x+3$上，求线段 $\mathit{OP}$的长度；

（3）如图2，在抛物线上是否存在点 $Q$（不与点 $C$重合），使 $\mathit{\Delta QAB}$和 $\mathit{\Delta ABC}$的面积相等？若存在，直接写出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，直线 $y=-\frac{4}{3}x+n$ 交 $x$ 轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $C(0,4)$ ，抛物线 $y=\frac{2}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A$ ，交 $y$ 轴于点 $B(0,-2)$ ．点 $P$ 为抛物线上一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $\mathit{PD}$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BD}\perp \mathit{PD}$ 于点 $D$ ，连接 $\mathit{PB}$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $\mathit{\Delta BDP}$ 为等腰直角三角形时，求线段 $\mathit{PD}$ 的长；

（3）如图2，将 $\mathit{\Delta BDP}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，得到△ $\mathit{BD}\text{'}P\text{'}$ ，且旋转角 $\angle \mathit{PBP}\text{'}=\angle \mathit{OAC}$ ，当点 $P$ 的对应点 $P\text{'}$ 落在坐标轴上时，请直接写出点 $P$ 的坐标．