如图，抛物线$y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交$x$轴于$A$、$B$两点，交$y$轴于点$C(0,3)$，顶点$F$的坐标为$(1,4)$，对称轴交$x$轴于点$H$，直线$y=\frac{1}{2}x+1$交$x$轴于点$D$，交$y$轴于点$E$，交抛物线的对称轴于点$G$．

（1）求出$a$，$b$，$c$的值．

（2）点$M$为抛物线对称轴上一个动点，若$\mathit{\Delta DGM}$是以$\mathit{DG}$为腰的等腰三角形时，请求出点$M$的坐标．

（3）点$P$为抛物线上一个动点，当点$P$关于直线$y=\frac{1}{2}x+1$的对称点恰好落在$x$轴上时，请直接写出此时点$P$的坐标．