问题提出

（1）如图①，在$\mathit{\Delta ABC}$中，$\mathit{AB}=4$，$\angle A=135°$，点$B$关于$\mathit{AC}$所在直线的对称点为$B\text{'}$，则$\mathit{BB}\text{'}$的长度为　　．

问题探究

（2）如图②，半圆$O$的直径$\mathit{AB}=10$，$C$是$\widehat{\mathit{AB}}$的中点，点$D$在$\widehat{\mathit{BC}}$上，且$\widehat{\mathit{CD}}=2\widehat{\mathit{BD}}$，$P$是$\mathit{AB}$上的动点，试求$\mathit{PC}+\mathit{PD}$的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形花坛$\mathit{AOB}$的半径为$20m$，$\angle \mathit{AOB}=45°$．根据工程需要．现想在$\widehat{\mathit{AB}}$上选点$P$，在边$\mathit{OA}$上选点$E$，在边$\mathit{OB}$上选点$F$，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个$\mathit{\Delta PEF}$，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带$\mathit{PE}+\mathit{EF}+\mathit{FP}$的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的$\mathit{\Delta PEF}$为等腰三角形．试求$\mathit{PE}+\mathit{EF}+\mathit{FP}$的值最小时的等腰$\mathit{\Delta PEF}$的面积．（安装损耗忽略不计）