初中数学试题

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$， $E$分别是 $\mathit{\Delta ABC}$两边的中点，如果 $\widehat{\mathit{DE}}$上的所有点都在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部或边上，则称 $\widehat{\mathit{DE}}$为 $\mathit{\Delta ABC}$的中内弧．例如，图1中 $\widehat{\mathit{DE}}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的一条中内弧．

（1）如图2，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=2\sqrt{2}$， $D$， $E$分别是 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$的中点，画出 $\mathit{\Delta ABC}$的最长的中内弧 $\widehat{\mathit{DE}}$，并直接写出此时 $\widehat{\mathit{DE}}$的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点 $A(0,2)$， $B(0,0)$， $C(4t$， $0\left)\right(t>0)$，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$， $E$分别是 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$的中点．

①若 $t=\frac{1}{2}$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的中内弧 $\widehat{\mathit{DE}}$所在圆的圆心 $P$的纵坐标的取值范围；

②若在 $\mathit{\Delta ABC}$中存在一条中内弧 $\widehat{\mathit{DE}}$，使得 $\widehat{\mathit{DE}}$所在圆的圆心 $P$在 $\mathit{\Delta ABC}$的内部或边上，直接写出 $t$的取值范围．

对于平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中的图形 $M$， $N$，给出如下定义： $P$为图形 $M$上任意一点， $Q$为图形 $N$上任意一点，如果 $P$， $Q$两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 $M$， $N$间的“闭距离“，记作 $d(M,N)$．

已知点 $A(-2,6)$， $B(-2,-2)$， $C(6,-2)$．

（1）求 $d$（点 $O$， $\mathit{\Delta ABC})$；

（2）记函数 $y=\mathit{kx}(-1⩽x⩽1,k\ne 0)$的图象为图形 $G$．若 $d(G,\mathit{\Delta ABC})=1$，直接写出 $k$的取值范围；

（3） $\odot T$的圆心为 $T(t,0)$，半径为1．若 $d(\odot T,\mathit{\Delta ABC})=1$，直接写出 $t$的取值范围．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中的点 $P$和图形 $M$，给出如下的定义：若在图形 $M$上存在一点 $Q$，使得 $P$、 $Q$两点间的距离小于或等于1，则称 $P$为图形 $M$的关联点．

（1）当 $\odot O$的半径为2时，

①在点 $P_1(\frac{1}{2}$， $0)$， $P_2(\frac{1}{2}$， $\frac{\sqrt{3}}{2})$， $P_3(\frac{5}{2}$， $0)$中， $\odot O$的关联点是　 　．

②点 $P$在直线 $y=-x$上，若 $P$为 $\odot O$的关联点，求点 $P$的横坐标的取值范围．

（2） $\odot C$的圆心在 $x$轴上，半径为2，直线 $y=-x+1$与 $x$轴、 $y$轴交于点 $A$、 $B$．若线段 $\mathit{AB}$上的所有点都是 $\odot C$的关联点，直接写出圆心 $C$的横坐标的取值范围．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(x_1$ ， $y_1)$ ，点 $Q$ 的坐标为 $(x_2$ ， $y_2)$ ，且 $x_1\ne x_2$ ， $y_1\ne y_2$ ，若 $P$ ， $Q$ 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"，如图为点 $P$ ， $Q$ 的"相关矩形"示意图．

（1）已知点 $A$ 的坐标为 $(1,0)$ ，

①若点 $B$ 的坐标为 $(3,1)$ ，求点 $A$ ， $B$ 的"相关矩形"的面积；

②点 $C$ 在直线 $x=3$ 上，若点 $A$ ， $C$ 的"相关矩形"为正方形，求直线 $\mathit{AC}$ 的表达式；

（2） $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{2}$ ，点 $M$ 的坐标为 $(m,3)$ ，若在 $\odot O$ 上存在一点 $N$ ，使得点 $M$ ， $N$ 的"相关矩形"为正方形，求 $m$ 的取值范围．

设抛物线的解析式为 $y=a{x}^2$ ，过点 $B_1(1,0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_1(1,2)$ ；过点 $B_2(\frac{1}{2}$ ， $0)$ 作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_2$ ； $\dots$ ；过点 $B_n({\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ ， $0\left)\right(n$ 为正整数）作 $x$ 轴的垂线，交抛物线于点 $A_n$ ，连接 $A_n{B}_{n+1}$ ，得 $\mathit{Rt}$ △ $A_n{B}_n{B}_{n+1}$ ．

（1）求 $a$ 的值；

（2）直接写出线段 $A_n{B}_n$ ， $B_n{B}_{n+1}$ 的长（用含 $n$ 的式子表示）；

（3）在系列 $\mathit{Rt}$ △ $A_n{B}_n{B}_{n+1}$ 中，探究下列问题：

①当 $n$ 为何值时， $\mathit{Rt}$ △ $A_n{B}_n{B}_{n+1}$ 是等腰直角三角形？

②设 $1⩽k<m⩽n(k$ ， $m$ 均为正整数），问：是否存在 $\mathit{Rt}$ △ $A_k{B}_k{B}_{k+1}$ 与 $\mathit{Rt}$ △ $A_m{B}_m{B}_{m+1}$ 相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由．

如图，抛物线 $L:y=-\frac{1}{2}(x-t)(x-t+4)$ （常数 $t>0)$ 与 $x$ 轴从左到右的交点为 $B$ ， $A$ ，过线段 $\mathit{OA}$ 的中点 $M$ 作 $\mathit{MP}\perp x$ 轴，交双曲线 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$ 于点 $P$ ，且 $\mathit{OA}·\mathit{MP}=12$ ，

（1）求 $k$ 值；

（2）当 $t=1$ 时，求 $\mathit{AB}$ 的长，并求直线 $\mathit{MP}$ 与 $L$ 对称轴之间的距离；

（3）把 $L$ 在直线 $\mathit{MP}$ 左侧部分的图象（含与直线 $\mathit{MP}$ 的交点）记为 $G$ ，用 $t$ 表示图象 $G$ 最高点的坐标；

（4）设 $L$ 与双曲线有个交点的横坐标为 $x_0$ ，且满足 $4⩽x_0⩽6$ ，通过 $L$ 位置随 $t$ 变化的过程，直接写出 $t$ 的取值范围．

如图1， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，点 $D$为边 $\mathit{AC}$上一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$．点 $M$为 $\mathit{BD}$中点， $\mathit{CM}$的延长线交 $\mathit{AB}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CM}=\mathit{EM}$；

（2）若 $\angle \mathit{BAC}=50°$，求 $\angle \mathit{EMF}$的大小；

（3）如图2，若 $\mathit{\Delta DAE}\cong \mathit{\Delta CEM}$，点 $N$为 $\mathit{CM}$的中点，求证： $\mathit{AN}//\mathit{EM}$．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$，点 $M$为边 $\mathit{AB}$的中点．

（1）如图1，点 $G$为线段 $\mathit{CM}$上的一点，且 $\angle \mathit{AGB}=90°$，延长 $\mathit{AG}$、 $\mathit{BG}$分别与边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$交于点 $E$、 $F$．

①求证： $\mathit{BE}=\mathit{CF}$；

②求证： $B{E}^2=\mathit{BC}·\mathit{CE}$．

（2）如图2，在边 $\mathit{BC}$上取一点 $E$，满足 $B{E}^2=\mathit{BC}·\mathit{CE}$，连接 $\mathit{AE}$交 $\mathit{CM}$于点 $G$，连接 $\mathit{BG}$并延长交 $\mathit{CD}$于点 $F$，求 $\tan \angle \mathit{CBF}$的值．

如图1， $A$， $B$分别在射线 $\mathit{OM}$， $\mathit{ON}$上，且 $\angle \mathit{MON}$为钝角，现以线段 $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$为斜边向 $\angle \mathit{MON}$的外侧作等腰直角三角形，分别是 $\mathit{\Delta OAP}$， $\mathit{\Delta OBQ}$，点 $C$， $D$， $E$分别是 $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$， $\mathit{AB}$的中点．

（1）求证： $\mathit{\Delta PCE}\cong \mathit{\Delta EDQ}$；

（2）延长 $\mathit{PC}$， $\mathit{QD}$交于点 $R$．

①如图2，若 $\angle \mathit{MON}=150°$，求证： $\mathit{\Delta ABR}$为等边三角形；

②如图3，若 $\mathit{\Delta ARB}\backsim \mathit{\Delta PEQ}$，求 $\angle \mathit{MON}$大小和 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{PQ}}$的值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $\odot O$的半径为1， $A$， $B$为 $\odot O$外两点， $\mathit{AB}=1$．

给出如下定义：平移线段 $\mathit{AB}$，得到 $\odot O$的弦 $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}(A^{\text{'}}$， $B\text{'}$分别为点 $A$， $B$的对应点），线段 $A{A}^{\text{'}}$长度的最小值称为线段 $\mathit{AB}$到 $\odot O$的“平移距离”．

（1）如图，平移线段 $\mathit{AB}$得到 $\odot O$的长度为1的弦 $P_1{P}_2$和 $P_3{P}_4$，则这两条弦的位置关系是　 $P_1{P}_2//P_3{P}_4$　；在点 $P_1$， $P_2$， $P_3$， $P_4$中，连接点 $A$与点　　的线段的长度等于线段 $\mathit{AB}$到 $\odot O$的“平移距离”；

（2）若点 $A$， $B$都在直线 $y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$上，记线段 $\mathit{AB}$到 $\odot O$的“平移距离”为 $d_1$，求 $d_1$的最小值；

（3）若点 $A$的坐标为 $(2,\frac{3}{2})$，记线段 $\mathit{AB}$到 $\odot O$的“平移距离”为 $d_2$，直接写出 $d_2$的取值范围．

这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21，…，第10行的数是（）

A．351

B．702

C．378

D．756

设a，b，c是从1到9的互不相同的整数，则的最大值为 ．

如图，AD⊥BC，垂足为D．CD=1，AD=2，BD=4．

（1）求∠BAC的度数？并说明理由；
（2）P是边BC上一点，连结AP，当△ACP为等腰三角形时，求CP的长．

数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a，b）放入其中时，会得到一个新的数：a²+b+1．例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到3²+（﹣2）+1=8．现将数对（﹣2，3）放入其中得到数m= ，再将数对（m，1）放入其中后，得到的数是 ．

阅读下列材料：
为落实开展社会大课堂活动，七年级（3）班李老师准备周六组织本班学生参观北京科技馆，要求学生周六早9：00准时在科技馆门前集合，然后几种买票参观．
小强家离北京科技馆4公里，周六他准备乘出租车去，为了解北京出租车的计价方式，小强周五晚上在网上查到了现行北京市出租车价格标准：

收费项目	收费标准
3公里以内收费	13元
基本单价	2.3元/公里
低速行驶和等候费	根据乘客要求停车等候或由于道路条件限制，时速低于12公里时，每5分钟早晚高峰期间加收2公里租价（不含空驶费）其他时间段加收1公里租价（不含空驶费）
预约叫车服务费	提前4小时以上预约每次6元，4小时以内预约每次5元
空驶费	单程旅客行驶超过15公里部分，基本单价加收50%的费用，往返载客（即起点和终点在2公里（含）范围以内）不加收空驶费
夜间收费	23：00（含）至次日5：00（不含）运营时，基本单价加收20%的费用
合乘收费	合乘里程部分，按非合乘情况下应付金额的60%付费
燃油附加费	1元/运次
备注：1、早高峰7：00（含）﹣﹣9：00（不含）；晚高峰17：00（含）﹣﹣19：00（不含）． 2、出租车计价段里程精确到500米，时间精确到2.5分钟；出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 3、过路、过桥费由乘客负担． 4、按日结算的包车及出北京行政区域的客运业务收费实行市场调节价．

在仔细阅读标准后，小强准备周六早上8点10分乘车，路上留出10分钟出租车时速低于12公里的堵车时间，这样在9点之前一定能顺利到达科技馆．时间设计好后，经过计算小强向妈妈要30元打车钱，妈妈问他30元钱够吗？小强说：“我按上表计算了，30元钱还有几块钱的剩余呢．”
下面是小强的分析与计算过程，请补充完整：
（1）小强在计算所需出租车费用时，用到上表中的信息包括 ．
（2）路上堵车10分钟，小强计算这10分钟出租车的低速行驶费用是多少？
（3）小强说：“我按上表计算了，30元钱还有几块钱的剩余呢．”请你计算小强的打车费用和剩余钱数．