如图，抛物线 $L:y=-\frac{1}{2}(x-t)(x-t+4)$ （常数 $t>0)$ 与 $x$ 轴从左到右的交点为 $B$ ， $A$ ，过线段 $\mathit{OA}$ 的中点 $M$ 作 $\mathit{MP}\perp x$ 轴，交双曲线 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$ 于点 $P$ ，且 $\mathit{OA}·\mathit{MP}=12$ ，

（1）求 $k$ 值；

（2）当 $t=1$ 时，求 $\mathit{AB}$ 的长，并求直线 $\mathit{MP}$ 与 $L$ 对称轴之间的距离；

（3）把 $L$ 在直线 $\mathit{MP}$ 左侧部分的图象（含与直线 $\mathit{MP}$ 的交点）记为 $G$ ，用 $t$ 表示图象 $G$ 最高点的坐标；

（4）设 $L$ 与双曲线有个交点的横坐标为 $x_0$ ，且满足 $4⩽x_0⩽6$ ，通过 $L$ 位置随 $t$ 变化的过程，直接写出 $t$ 的取值范围．