初中数学试题

抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$ 经过 $A(-1,0)$ ， $C(3,0)$ ，交 $y$ 轴于点 $B$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$ 为直线 $\mathit{BC}$ 上方抛物线上一个动点，连接 $\mathit{PB}$ ， $\mathit{PC}$ ．设 $\mathit{\Delta PBC}$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，试求 $S$ 关于 $m$ 的函数解析式，并求出 $S$ 的最大值；

（3）如图2，连接 $\mathit{AB}$ ，点 $M(2,1)$ 为抛物线内一点，在抛物线上是否存在点 $Q$ ，使直线 $\mathit{QM}$ 与 $y$ 轴相交所成的锐角等于 $\angle \mathit{OAB}$ ？若存在，请直接写出点 $Q$ 的横坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，过点 $A(8,0)$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$与直线 $y=\frac{2}{3}x$交于点 $B(6,n)$．点 $P$是线段 $\mathit{OB}$上一动点，过点 $P$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $D$，交抛物线于点 $E$．设 $\mathit{\Delta BOE}$的面积为 $S$，点 $P$的横坐标为 $m$．

（1）请直接写出 $n$的值及抛物线的解析式．

（2）为探究 $S$最大时点 $P$的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下解析：

甲：借助 $\mathit{PE}$的长与三角形面积公式，求出 $S$关于 $m$的函数关系式，可确定点 $P$的位置．

乙：当点 $P$运动到点 $O$或点 $B$时， $S$的值可看作0，则当点 $P$运动到 $\mathit{OB}$中点时， $S$最大，即 $S$最大时，点 $P$为 $\mathit{OB}$的中点．

请参考甲的方法求出 $S$最大时点 $P$的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由．

（3）拓展探究：如图2，直线 $l$与任意抛物线相交于 $M$、 $N$两点， $G$是线段 $\mathit{MN}$上的一个动点，过点 $G$作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点 $H$．当 $\mathit{\Delta MHN}$的面积最大时，点 $G$一定是线段 $\mathit{MN}$的中点吗？试作出判断并说明理由．

如图，抛物线 $y={(x-1)}^2+k$与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴相交于点 $C(0,-3)$． $P$为抛物线上一点，横坐标为 $m$，且 $m>0$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当点 $P$位于 $x$轴下方时，求 $\mathit{\Delta ABP}$面积的最大值；

（3）设此抛物线在点 $C$与点 $P$之间部分（含点 $C$和点 $P)$最高点与最低点的纵坐标之差为 $h$．

①求 $h$关于 $m$的函数解析式，并写出自变量 $m$的取值范围；

②当 $h=9$时，直接写出 $\mathit{\Delta BCP}$的面积．

已知函数 $y=\left\{\begin{array}{c}-x^2+\mathit{nx}+n,(x⩾n),\\ -\frac{1}{2}{x}^2+\frac{n}{2}x+\frac{n}{2},(x<n)\end{array}\right.(n$为常数）

（1）当 $n=5$，

①点 $P(4,b)$在此函数图象上，求 $b$的值；

②求此函数的最大值．

（2）已知线段 $\mathit{AB}$的两个端点坐标分别为 $A(2,2)$、 $B(4,2)$，当此函数的图象与线段 $\mathit{AB}$只有一个交点时，直接写出 $n$的取值范围．

（3）当此函数图象上有4个点到 $x$轴的距离等于4，求 $n$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+2\mathit{ax}-3a(a<0)$与 $x$轴相交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴相交于点 $C$，顶点为 $D$，直线 $\mathit{DC}$与 $x$轴相交于点 $E$．

（1）当 $a=-1$时，抛物线顶点 $D$的坐标为　　， $\mathit{OE}=$　　；

（2） $\mathit{OE}$的长是否与 $a$值有关，说明你的理由；

（3）设 $\angle \mathit{DEO}=\beta$， $45°⩽\beta ⩽60°$，求 $a$的取值范围；

（4）以 $\mathit{DE}$为斜边，在直线 $\mathit{DE}$的左下方作等腰直角三角形 $\mathit{PDE}$．设 $P(m,n)$，直接写出 $n$关于 $m$的函数解析式及自变量 $m$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的对称中心为坐标原点 $O$， $\mathit{AD}\perp y$轴于点 $E$（点 $A$在点 $D$的左侧），经过 $E$、 $D$两点的函数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{mx}+1(x⩾0)$的图象记为 $G_1$，函数 $y=-\frac{1}{2}{x}^2-\mathit{mx}-1(x<0)$的图象记为 $G_2$，其中 $m$是常数，图象 $G_1$、 $G_2$合起来得到的图象记为 $G$．设矩形 $\mathit{ABCD}$的周长为 $L$．

（1）当点 $A$的横坐标为 $-1$时，求 $m$的值；

（2）求 $L$与 $m$之间的函数关系式；

（3）当 $G_2$与矩形 $\mathit{ABCD}$恰好有两个公共点时，求 $L$的值；

（4）设 $G$在 $-4⩽x⩽2$上最高点的纵坐标为 $y_0$，当 $\frac{3}{2}⩽y_0⩽9$时，直接写出 $L$的取值范围．

《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{(x-2)}^2-\frac{4}{3}$经过原点 $O$，与 $x$轴的另一个交点为 $A$，则 $a=$　　．

【操作】将图①中抛物线在 $x$轴下方的部分沿 $x$轴折叠到 $x$轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为 $G$，如图②．直接写出图象 $G$对应的函数解析式．

【探究】在图②中，过点 $B(0,1)$作直线 $l$平行于 $x$轴，与图象 $G$的交点从左至右依次为点 $C$， $D$， $E$， $F$，如图③．求图象 $G$在直线 $l$上方的部分对应的函数 $y$随 $x$增大而增大时 $x$的取值范围．

【应用】 $P$是图③中图象 $G$上一点，其横坐标为 $m$，连接 $\mathit{PD}$， $\mathit{PE}$．直接写出 $\mathit{\Delta PDE}$的面积不小于1时 $m$的取值范围．

定义：对于给定的两个函数，任取自变量 $x$的一个值，当 $x<0$时，它们对应的函数值互为相反数；当 $x⩾0$时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数 $y=x-1$，它的相关函数为 $y=\left\{\begin{array}{c}-x+1(x<0)\\ x-1(x⩾0)\end{array}\right.$．

（1）已知点 $A(-5,8)$在一次函数 $y=\mathit{ax}-3$的相关函数的图象上，求 $a$的值；

（2）已知二次函数 $y=-x^2+4x-\frac{1}{2}$．①当点 $B(m,\frac{3}{2})$在这个函数的相关函数的图象上时，求 $m$的值；

②当 $-3⩽x⩽3$时，求函数 $y=-x^2+4x-\frac{1}{2}$的相关函数的最大值和最小值；

（3）在平面直角坐标系中，点 $M$， $N$的坐标分别为 $(-\frac{1}{2}$， $1)$， $(\frac{9}{2}$， $1)$，连结 $\mathit{MN}$．直接写出线段 $\mathit{MN}$与二次函数 $y=-x^2+4x+n$的相关函数的图象有两个公共点时 $n$的取值范围．

如图1，在平面直角坐标系中，点 $B$在 $x$轴正半轴上， $\mathit{OB}$的长度为 $2m$，以 $\mathit{OB}$为边向上作等边三角形 $\mathit{AOB}$，抛物线 $l:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $O$， $A$， $B$三点

（1）当 $m=2$时， $a=$　　，当 $m=3$时， $a=$　　；

（2）根据（1）中的结果，猜想 $a$与 $m$的关系，并证明你的结论；

（3）如图2，在图1的基础上，作 $x$轴的平行线交抛物线 $l$于 $P$、 $Q$两点， $\mathit{PQ}$的长度为 $2n$，当 $\mathit{\Delta APQ}$为等腰直角三角形时， $a$和 $n$的关系式为　　；

（4）利用（2）（3）中的结论，求 $\mathit{\Delta AOB}$与 $\mathit{\Delta APQ}$的面积比．

如图，在平面直角坐标系中，有抛物线 $y=a{(x-h)}^2$．抛物线 $y=a{(x-3)}^2+4$经过原点，与 $x$轴正半轴交于点 $A$，与其对称轴交于点 $B$， $P$是抛物线 $y=a{(x-3)}^2+4$上一点，且在 $x$轴上方，过点 $P$作 $x$轴的垂线交抛物线 $y=a{(x-h)}^2$于点 $Q$，过点 $Q$作 $\mathit{PQ}$的垂线交抛物线 $y=a{(x-h)}^2$于点 $Q\text{'}$（不与点 $Q$重合），连结 $\mathit{PQ}\text{'}$，设点 $P$的横坐标为 $m$．

（1）求 $a$的值；

（2）当抛物线 $y=a{(x-h)}^2$经过原点时，设 $\mathit{\Delta PQQ}\text{'}$与 $\mathit{\Delta OAB}$重叠部分图形的周长为 $l$．

①求 $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{QQ}\text{'}}$的值；

②求 $l$与 $m$之间的函数关系式；

（3）当 $h$为何值时，存在点 $P$，使以点 $O$， $A$， $Q$， $Q\text{'}$为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出 $h$的值．

如图1和图2，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BC}=8$， $\tan C=\frac{3}{4}$．点 $K$在 $\mathit{AC}$边上，点 $M$， $N$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$上，且 $\mathit{AM}=\mathit{CN}=2$．点 $P$从点 $M$出发沿折线 $\mathit{MB}-\mathit{BN}$匀速移动，到达点 $N$时停止；而点 $Q$在 $\mathit{AC}$边上随 $P$移动，且始终保持 $\angle \mathit{APQ}=\angle B$．

（1）当点 $P$在 $\mathit{BC}$上时，求点 $P$与点 $A$的最短距离；

（2）若点 $P$在 $\mathit{MB}$上，且 $\mathit{PQ}$将 $\mathit{\Delta ABC}$的面积分成上下 $4:5$两部分时，求 $\mathit{MP}$的长；

（3）设点 $P$移动的路程为 $x$，当 $0⩽x⩽3$及 $3⩽x⩽9$时，分别求点 $P$到直线 $\mathit{AC}$的距离（用含 $x$的式子表示）；

（4）在点 $P$处设计并安装一扫描器，按定角 $\angle \mathit{APQ}$扫描 $\mathit{\Delta APQ}$区域（含边界），扫描器随点 $P$从 $M$到 $B$再到 $N$共用时36秒．若 $\mathit{AK}=\frac{9}{4}$，请直接写出点 $K$被扫描到的总时长．

如图，若 $b$是正数，直线 $l:y=b$与 $y$轴交于点 $A$；直线 $a:y=x-b$与 $y$轴交于点 $B$；抛物线 $L:y=-x^2+\mathit{bx}$的顶点为 $C$，且 $L$与 $x$轴右交点为 $D$．

（1）若 $\mathit{AB}=8$，求 $b$的值，并求此时 $L$的对称轴与 $a$的交点坐标；

（2）当点 $C$在 $l$下方时，求点 $C$与 $l$距离的最大值；

（3）设 $x_0\ne 0$，点 $(x_0$， $y_1)$， $(x_0$， $y_2)$， $(x_0$， $y_3)$分别在 $l$， $a$和 $L$上，且 $y_3$是 $y_1$， $y_2$的平均数，求点 $(x_0$， $0)$与点 $D$间的距离；

（4）在 $L$和 $a$所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出 $b=2019$和 $b=2019.5$时“美点”的个数．

如图是轮滑场地的截面示意图，平台 $\mathit{AB}$距 $x$轴（水平）18米，与 $y$轴交于点 $B$，与滑道 $y=\frac{k}{x}(x⩾1)$交于点 $A$，且 $\mathit{AB}=1$米．运动员（看成点）在 $\mathit{BA}$方向获得速度 $v$米 $/$秒后，从 $A$处向右下飞向滑道，点 $M$是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明： $M$， $A$的竖直距离 $h$（米 $)$与飞出时间 $t$（秒 $)$的平方成正比，且 $t=1$时 $h=5$， $M$， $A$的水平距离是 $\mathit{vt}$米．

（1）求 $k$，并用 $t$表示 $h$；

（2）设 $v=5$．用 $t$表示点 $M$的横坐标 $x$和纵坐标 $y$，并求 $y$与 $x$的关系式（不写 $x$的取值范围），及 $y=13$时运动员与正下方滑道的竖直距离；

（3）若运动员甲、乙同时从 $A$处飞出，速度分别是5米 $/$秒、 $v_{乙}$米 $/$秒．当甲距 $x$轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出 $t$的值及 $v_{乙}$的范围．

某厂按用户的月需求量 $x$（件 $)$完成一种产品的生产，其中 $x>0$，每件的售价为18万元，每件的成本 $y$（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量 $x$（件 $)$成反比，经市场调研发现，月需求量 $x$与月份 $n(n$为整数， $1⩽n⩽12)$，符合关系式 $x=2n^2-2\mathit{kn}+9(k+3)(k$为常数），且得到了表中的数据．

月份 $n$（月 $)$	1	2
成本 $y$（万元 $/$件）	11	12
需求量 $x$（件 $/$月）	120	100

（1）求 $y$与 $x$满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；

（2）求 $k$，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；

（3）在这一年12个月中，若第 $m$个月和第 $(m+1)$个月的利润相差最大，求 $m$．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$， $P$为 $\mathit{\Delta ABC}$内部一点，且 $\angle \mathit{APB}=\angle \mathit{BPC}=135°$．

（1）求证： $\mathit{\Delta PAB}\backsim \mathit{\Delta PBC}$；

（2）求证： $\mathit{PA}=2\mathit{PC}$；

（3）若点 $P$到三角形的边 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CA}$的距离分别为 $h_1$， $h_2$， $h_3$，求证 $h_1^2=h_2·h_3$．