如图，在平面直角坐标系中，有抛物线$y=a{(x-h)}^2$．抛物线$y=a{(x-3)}^2+4$经过原点，与$x$轴正半轴交于点$A$，与其对称轴交于点$B$，$P$是抛物线$y=a{(x-3)}^2+4$上一点，且在$x$轴上方，过点$P$作$x$轴的垂线交抛物线$y=a{(x-h)}^2$于点$Q$，过点$Q$作$\mathit{PQ}$的垂线交抛物线$y=a{(x-h)}^2$于点$Q\text{'}$（不与点$Q$重合），连结$\mathit{PQ}\text{'}$，设点$P$的横坐标为$m$．

（1）求$a$的值；

（2）当抛物线$y=a{(x-h)}^2$经过原点时，设$\mathit{\Delta PQQ}\text{'}$与$\mathit{\Delta OAB}$重叠部分图形的周长为$l$．

①求$\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{QQ}\text{'}}$的值；

②求$l$与$m$之间的函数关系式；

（3）当$h$为何值时，存在点$P$，使以点$O$，$A$，$Q$，$Q\text{'}$为顶点的四边形是轴对称图形？直接写出$h$的值．