如图1，在平面直角坐标系中，点$B$在$x$轴正半轴上，$\mathit{OB}$的长度为$2m$，以$\mathit{OB}$为边向上作等边三角形$\mathit{AOB}$，抛物线$l:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点$O$，$A$，$B$三点

（1）当$m=2$时，$a=$　　，当$m=3$时，$a=$　　；

（2）根据（1）中的结果，猜想$a$与$m$的关系，并证明你的结论；

（3）如图2，在图1的基础上，作$x$轴的平行线交抛物线$l$于$P$、$Q$两点，$\mathit{PQ}$的长度为$2n$，当$\mathit{\Delta APQ}$为等腰直角三角形时，$a$和$n$的关系式为　　；

（4）利用（2）（3）中的结论，求$\mathit{\Delta AOB}$与$\mathit{\Delta APQ}$的面积比．