如图，RtΔABC中，∠ACB90°，ACBC，P为ΔABC

如图， $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = BC$ ， $P$ 为 $ΔABC$ 内部一点，且 $∠ APB = ∠ BPC = 135 °$ ．

（1）求证： $ΔPAB ∽ ΔPBC$ ；

（2）求证： $PA = 2 PC$ ；

（3）若点 $P$ 到三角形的边 $AB$ ， $BC$ ， $CA$ 的距离分别为 $h_{1}$ ， $h_{2}$ ， $h_{3}$ ，求证 $h_{1}^{2} = h_{2} \cdot h_{3}$ ．

相关试题

如图，已知抛物线 $y = a (x + 2) (x - 6)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，且 $\tan ∠ CAB = \frac{3}{2}$ ．设抛物线的顶点为 $M$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $N$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$ 为抛物线的对称轴上一点， $Q (n, 0)$ 为 $x$ 轴上一点，且 $PQ ⊥ PC$ ．

①当点 $P$ 在线段 $MN$ （含端点）上运动时，求 $n$ 的变化范围；

②在①的条件下，当 $n$ 取最大值时，求点 $P$ 到线段 $CQ$ 的距离；

③在①的条件下，当 $n$ 取最大值时，将线段 $CQ$ 向上平移 $t$ 个单位长度，使得线段 $CQ$ 与抛物线有两个交点，求 $t$ 的取值范围．

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在 $ΔABC$ 中，已知 $D$ 是 $BC$ 边的中点， $G$ 是 $ΔABC$ 的重心，过 $G$ 点的直线分别交 $AB$ 、 $AC$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）如图1，当 $EF / / BC$ 时，求证： $\frac{BE}{AE} + \frac{CF}{AF} = 1$ ；

（2）如图2，当 $EF$ 和 $BC$ 不平行，且点 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $AB$ 、 $AC$ 上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

（3）如图3，当点 $E$ 在 $AB$ 的延长线上或点 $F$ 在 $AC$ 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．

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如图，直线 $l$ 与 $⊙ O$ 相离， $OA ⊥ l$ 于点 $A$ ，与 $⊙ O$ 相交于点 $P$ ， $OA = 5$ ． $C$ 是直线 $l$ 上一点，连结 $CP$ 并延长交 $⊙ O$ 于另一点 $B$ ，且 $AB = AC$ ．

（1）求证： $AB$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为3，求线段 $BP$ 的长．

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已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 4) x + 4 k = 0$ ．

（1）求证：无论 $k$ 为任何实数，此方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，满足 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = \frac{3}{4}$ ，求 $k$ 的值；

（3）若 $Rt Δ ABC$ 的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，求 $Rt Δ ABC$ 的内切圆半径．

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某校组织学生参加“安全知识竞赛”，测试结束后，张老师从七年级720名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图所示．试根据条形统计图中提供的信息，回答下列问题：

（1）张老师抽取的这部分学生中，共有　　名男生，　　名女生；

（2）张老师抽取的这部分学生中，女生成绩的众数是　　；

（3）若将不低于27分的成绩定为优秀，请估计七年级720名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少．

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