如图1，过点的抛物线与直线交于点．点是线段上一动点，过点作轴的垂线，垂足为点，交抛物线于点．设的面积为，点的横坐标为．
（1）请直接写出的值及抛物线的解析式．
（2）为探究最大时点的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下解析：
甲：借助的长与三角形面积公式，求出关于的函数关系式，可确定点的位置．
乙：当点运动到点或点时，的值可看作0，则当点运动到中点时，最大，即最大时，点为的中点．
请参考甲的方法求出最大时点的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由．
（3）拓展探究：如图2，直线与任意抛物线相交于、两点，是线段上的一个动点，过点作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点．当的面积最大时，点一定是线段的中点吗？试作出判断并说明理由．
如图，抛物线
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，请解决下列问题．
（1）填空：点C的坐标为（ ， ），点D的坐标为（ ， ）；
（2）设点P的坐标为（a，0），当
最大时，求a的值并在图中标出点P的位置；
（3）在（2）的条件下，将△BCP沿x轴的正方向平移得到△B′C′P′，设点C对应点C′的横坐标为t（其中0＜t＜6），在运动过程中△B′C′P′与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t之间的关系式，并直接写出当t为何值时S最大，最大值为多少？
理数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD．设AC=1，则BD=BA=2，BC=
．tanD=tan15°=
=
=
．
思路二 利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（α±β）=
．假设α=60°，β=45°代入差角正切公式：tan15°=tan（60°﹣45°）=
=
=．
思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…
思路四 …
请解决下列问题（上述思路仅供参考）．
（1）类比：求出tan75°的值；
（2）应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（∠CAD）为45°，求这座电视塔CD的高度；
（3）拓展：如图3，直线
与双曲线
交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由．
在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：
；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（1，﹣1）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点O到直线AB的距离；
（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND=∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，请你直接写出点M的坐标．
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