如图，在平面直角坐标系中，抛物线$y=a{x}^2+2\mathit{ax}-3a(a<0)$与$x$轴相交于$A$，$B$两点，与$y$轴相交于点$C$，顶点为$D$，直线$\mathit{DC}$与$x$轴相交于点$E$．

（1）当$a=-1$时，抛物线顶点$D$的坐标为　　，$\mathit{OE}=$　　；

（2）$\mathit{OE}$的长是否与$a$值有关，说明你的理由；

（3）设$\angle \mathit{DEO}=\beta$，$45°⩽\beta ⩽60°$，求$a$的取值范围；

（4）以$\mathit{DE}$为斜边，在直线$\mathit{DE}$的左下方作等腰直角三角形$\mathit{PDE}$．设$P(m,n)$，直接写出$n$关于$m$的函数解析式及自变量$m$的取值范围．