问题提出

（1）如图①，$\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形，$\mathit{AB}=12$，若点$O$是$\mathit{\Delta ABC}$的内心，则$\mathit{OA}$的长为　　；

问题探究

（2）如图②，在矩形$\mathit{ABCD}$中，$\mathit{AB}=12$，$\mathit{AD}=18$，如果点$P$是$\mathit{AD}$边上一点，且$\mathit{AP}=3$，那么$\mathit{BC}$边上是否存在一点$Q$，使得线段$\mathit{PQ}$将矩形$\mathit{ABCD}$的面积平分？若存在，求出$\mathit{PQ}$的长；若不存在，请说明理由．

问题解决

（3）某城市街角有一草坪，草坪是由$\mathit{\Delta ABM}$草地和弦$\mathit{AB}$与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在$M$处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于$\angle \mathit{AMB}$（即每次喷灌时喷灌龙头由$\mathit{MA}$转到$\mathit{MB}$，然后再转回，这样往复喷灌．$)$同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．

如图③，已测出$\mathit{AB}=24m$，$\mathit{MB}=10m$，$\mathit{\Delta AMB}$的面积为$96m^2$；过弦$\mathit{AB}$的中点$D$作$\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$交$\widehat{\mathit{AB}}$于点$E$，又测得$\mathit{DE}=8m$．

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）