如图1，已知抛物线$y=-x^2+\mathit{bx}+c$过点$A(1,0)$，$B(-3,0)$．

（1）求抛物线的解析式及其顶点$C$的坐标；

（2）设点$D$是$x$轴上一点，当$\tan (\angle \mathit{CAO}+\angle \mathit{CDO})=4$时，求点$D$的坐标；

（3）如图2．抛物线与$y$轴交于点$E$，点$P$是该抛物线上位于第二象限的点，线段$\mathit{PA}$交$\mathit{BE}$于点$M$，交$y$轴于点$N$，$\mathit{\Delta BMP}$和$\mathit{\Delta EMN}$的面积分别为$m$、$n$，求$m-n$的最大值．