如图1，已知在平面直角坐标系$\mathit{xOy}$中，四边形$\mathit{OABC}$是矩形，点$A$，$C$分别在$x$轴和$y$轴的正半轴上，连结$\mathit{AC}$，$\mathit{OA}=3$，$\tan \angle \mathit{OAC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$D$是$\mathit{BC}$的中点．

（1）求$\mathit{OC}$的长和点$D$的坐标；

（2）如图2，$M$是线段$\mathit{OC}$上的点，$\mathit{OM}=\frac{2}{3}\mathit{OC}$，点$P$是线段$\mathit{OM}$上的一个动点，经过$P$，$D$，$B$三点的抛物线交$x$轴的正半轴于点$E$，连结$\mathit{DE}$交$\mathit{AB}$于点$F$．

①将$\mathit{\Delta DBF}$沿$\mathit{DE}$所在的直线翻折，若点$B$恰好落在$\mathit{AC}$上，求此时$\mathit{BF}$的长和点$E$的坐标；

②以线段$\mathit{DF}$为边，在$\mathit{DF}$所在直线的右上方作等边$\mathit{\Delta DFG}$，当动点$P$从点$O$运动到点$M$时，点$G$也随之运动，请直接写出点$G$运动路径的长．