如图，在平面直角坐标系中，直线$y=-\frac{1}{2}x+4$分别交$x$轴、$y$轴于点$B$，$C$，正方形$\mathit{AOCD}$的顶点$D$在第二象限内，$E$是$\mathit{BC}$中点，$\mathit{OF}\perp \mathit{DE}$于点$F$，连结$\mathit{OE}$．动点$P$在$\mathit{AO}$上从点$A$向终点$O$匀速运动，同时，动点$Q$在直线$\mathit{BC}$上从某一点$Q_1$向终点$Q_2$匀速运动，它们同时到达终点．

（1）求点$B$的坐标和$\mathit{OE}$的长．

（2）设点$Q_2$为$(m,n)$，当$\frac{n}{m}=\frac{1}{7}\tan \angle \mathit{EOF}$时，求点$Q_2$的坐标．

（3）根据（2）的条件，当点$P$运动到$\mathit{AO}$中点时，点$Q$恰好与点$C$重合．

①延长$\mathit{AD}$交直线$\mathit{BC}$于点$Q_3$，当点$Q$在线段$Q_2{Q}_3$上时，设$Q_{3}Q=s$，$\mathit{AP}=t$，求$s$关于$t$的函数表达式．

②当$\mathit{PQ}$与$\mathit{\Delta OEF}$的一边平行时，求所有满足条件的$\mathit{AP}$的长．