如图，抛物线$y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$过点$A(3,2)$，且与直线$y=-x+\frac{7}{2}$交于$B$、$C$两点，点$B$的坐标为$(4,m)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点$D$为抛物线上位于直线$\mathit{BC}$上方的一点，过点$D$作$\mathit{DE}\perp x$轴交直线$\mathit{BC}$于点$E$，点$P$为对称轴上一动点，当线段$\mathit{DE}$的长度最大时，求$\mathit{PD}+\mathit{PA}$的最小值；

（3）设点$M$为抛物线的顶点，在$y$轴上是否存在点$Q$，使$\angle \mathit{AQM}=45°$？若存在，求点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由．