如图，已知直线$\mathit{AB}$与抛物线$C:y=a{x}^2+2x+c$相交于点$A(-1,0)$和点$B(2,3)$两点．

（1）求抛物线$C$函数表达式；

（2）若点$M$是位于直线$\mathit{AB}$上方抛物线上的一动点，以$\mathit{MA}$、$\mathit{MB}$为相邻的两边作平行四边形$\mathit{MANB}$，当平行四边形$\mathit{MANB}$的面积最大时，求此时平行四边形$\mathit{MANB}$的面积$S$及点$M$的坐标；

（3）在抛物线$C$的对称轴上是否存在定点$F$，使抛物线$C$上任意一点$P$到点$F$的距离等于到直线$y=\frac{17}{4}$的距离？若存在，求出定点$F$的坐标；若不存在，请说明理由．