如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线yx24x上，且横坐标

更新 2022-09-04
科目数学
题型解答题
难度较难
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如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 在抛物线 $y = - x^{2} + 4 x$ 上，且横坐标为1，点 $B$ 与点 $A$ 关于抛物线的对称轴对称，直线 $AB$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 为抛物线的顶点，点 $E$ 的坐标为 $(1, 1)$ ．

（1）求线段 $AB$ 的长；

（2）点 $P$ 为线段 $AB$ 上方抛物线上的任意一点，过点 $P$ 作 $AB$ 的垂线交 $AB$ 于点 $H$ ，点 $F$ 为 $y$ 轴上一点，当 $ΔPBE$ 的面积最大时，求 $PH + HF + \frac{1}{2} FO$ 的最小值；

（3）在（2）中， $PH + HF + \frac{1}{2} FO$ 取得最小值时，将 $ΔCFH$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $60 °$ 后得到△ $CF' H'$ ，过点 $F^{'}$ 作 $CF'$ 的垂线与直线 $AB$ 交于点 $Q$ ，点 $R$ 为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $S$ ，使以点 $D$ ， $Q$ ， $R$ ， $S$ 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $S$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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（1）求这个二次函数的表达式；

（2）①若点 $P$ 仅在线段 $AO$ 上运动，如图，求线段 $MN$ 的最大值；

②若点 $P$ 在 $x$ 轴上运动，则在 $y$ 轴上是否存在点 $Q$ ，使以 $M$ ， $N$ ， $C$ ， $Q$ 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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组别	成绩 $x$ （单位：次）	人数
$A$	$70 ⩽ x < 90$	4
$B$	$90 ⩽ x < 110$	15
$C$	$110 ⩽ x < 130$	18
$D$	$130 ⩽ x < 150$	12
$E$	$150 ⩽ x < 170$	$m$
$F$	$170 ⩽ x < 190$	5

（1）本次测试随机抽取的人数是　　人， $m =$ 　　；

（2）求 $C$ 等级所在扇形的圆心角的度数；

（3）若该校七年级学生共有300人，且规定不低于130次的成绩为优秀，请你估计该校七年级学生中有多少人能够达到优秀．

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