在平面直角坐标系中，抛物线$y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+\frac{\sqrt{3}}{2}x+2\sqrt{3}$与$x$轴交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$左侧），与$y$轴交于点$C$，顶点为$D$，对称轴与$x$轴交于点$Q$．

（1）如图1，连接$\mathit{AC}$，$\mathit{BC}$．若点$P$为直线$\mathit{BC}$上方抛物线上一动点，过点$P$作$\mathit{PE}//y$轴交$\mathit{BC}$于点$E$，作$\mathit{PF}\perp \mathit{BC}$于点$F$，过点$B$作$\mathit{BG}//\mathit{AC}$交$y$轴于点$G$．点$H$，$K$分别在对称轴和$y$轴上运动，连接$\mathit{PH}$，$\mathit{HK}$．当$\mathit{\Delta PEF}$的周长最大时，求$\mathit{PH}+\mathit{HK}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathit{KG}$的最小值及点$H$的坐标．

（2）如图2，将抛物线沿射线$\mathit{AC}$方向平移，当抛物线经过原点$O$时停止平移，此时抛物线顶点记为$D\text{'}$，$N$为直线$\mathit{DQ}$上一点，连接点$D\text{'}$，$C$，$N$，△$D\text{'}\mathit{CN}$能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点$N$的坐标；若不能，请说明理由．