综合与探究

如图，抛物线$y=\frac{1}{3}{x}^2-\frac{1}{3}x-4$与$x$轴交于$A$，$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，连接$\mathit{AC}$，$\mathit{BC}$．点$P$是第四象限内抛物线上的一个动点，点$P$的横坐标为$m$，过点$P$作$\mathit{PM}\perp x$轴，垂足为点$M$，$\mathit{PM}$交$\mathit{BC}$于点$Q$，过点$P$作$\mathit{PE}//\mathit{AC}$交$x$轴于点$E$，交$\mathit{BC}$于点$F$．

（1）求$A$，$B$，$C$三点的坐标；

（2）试探究在点$P$运动的过程中，是否存在这样的点$Q$，使得以$A$，$C$，$Q$为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点$Q$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含$m$的代数式表示线段$\mathit{QF}$的长，并求出$m$为何值时$\mathit{QF}$有最大值．