如图，抛物线$y=-\frac{\sqrt{3}}{9}{x}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}x+3\sqrt{3}$与$x$轴交于$A$、$B$两点（点$A$在点$B$的左侧），与$y$轴交于点$C$，连接$\mathit{AC}$、$\mathit{BC}$．点$P$沿$\mathit{AC}$以每秒1个单位长度的速度由点$A$向点$C$运动，同时，点$Q$沿$\mathit{BO}$以每秒2个单位长度的速度由点$B$向点$O$运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接$\mathit{PQ}$．过点$Q$作$\mathit{QD}\perp x$轴，与抛物线交于点$D$，与$\mathit{BC}$交于点$E$，连接$\mathit{PD}$，与$\mathit{BC}$交于点$F$．设点$P$的运动时间为$t$秒$(t>0)$．

（1）求直线$\mathit{BC}$的函数表达式；

（2）①直接写出$P$，$D$两点的坐标（用含$t$的代数式表示，结果需化简）

②在点$P$、$Q$运动的过程中，当$\mathit{PQ}=\mathit{PD}$时，求$t$的值；

（3）试探究在点$P$，$Q$运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点$F$为$\mathit{PD}$的中点？若存在，请直接写出此时$t$的值与点$F$的坐标；若不存在，请说明理由．