2010年高考试题分项版理科数学之专题八 圆锥曲线

在平面直角坐标系 $xOy$中，双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$上一点 $M$，点 $M$的横坐标是3，则 $M$到双曲线右焦点的距离是.

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ 的左右顶点为 $A,B$ ，右顶点为 $F$ ，设过点 $T(t,m)$ 的直线 $TA,TB$ 与椭圆分别交于点 $M(x_1,y_1)$ ， $N(x_2,y_2)$ ，其中 $m>0$ , $y_1>0,y_2<0$

①设动点 $P$ 满足 $P{F}^2-P{B}^2=4$ ,求点 $P$ 的轨迹
②设 $x_1=2,x_2=\frac{1}{3}$ ，求点 $T$ 的坐标
③设 $t=9$ ,求证：直线 $MN$ 必过 $x$ 轴上的一定点（其坐标与 $m$ 无关）

双曲线方程为 $x^2-2y^2=1$，则它的右焦点坐标为

已知椭圆 $E$ 经过点 $A\left(2,3\right)$ ，对称轴为坐标轴，焦点 $F_1,F_2$ 在 $x$ 轴上，离心率 $e=\frac{1}{2}$ 。
 

(Ⅰ)求椭圆 $E$ 的方程；
(Ⅱ)求 $\angle F_{1}A{F}_2$ 的角平分线所在直线 $l$ 的方程；
(Ⅲ)在椭圆 $E$ 上是否存在关于直线 $l$ 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。

如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 $F_1,F_2$ 为顶点的三角形的周长为 $4\left(\sqrt{2}+1\right)$ .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 $P$ 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 $P{F}_1$ 和 $P{F}_2$ 与椭圆的交点分别为 $A,B$ 和 $C,D$ .

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线 $P{F}_1$ 、 $P{F}_2$ 的斜率分别为 $k_1$ 、 $k_2$ ，证明 $k_1{k}_2=1$ ；
（Ⅲ）是否存在常数 $\lambda$ ，使得 $\left|AB\right|+\left|CD\right|=\lambda \left|AB\right|·\left|CD\right|$ 恒成立？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由.

已知抛物线 $y^2=2px(p>0)$的准线与圆 $x^2+y^2-6x-7=0$相切，则 $p$的值为(   )

如图，椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的顶点为 $A_1,A_2,B_1,B_2$ ，焦点为 $F_1,F_2$ ， $\left|A_1{B}_1\right|=\sqrt{7}$ , $S_{▱B_1{A}_1{B}_2{A}_2}=2S_{▱B_1{F}_1{B}_2{F}_2}$ .

(Ⅰ)求椭圆 $C$ 的方程；

(Ⅱ)设 $n$ 为过原点的直线， $l$ 是与 $n$ 垂直相交于 $P$ 点，与椭圆相交于 $A$ , $B$ 两点的直线， $\left|\stackrel{\rightharpoonup }{OP}\right|=1$ .是否存在上述直线 $l$ 使 $\stackrel{\rightharpoonup }{OA}·\stackrel{\rightharpoonup }{OB}=0$ 成立？若存在，求出直线 $l$ 的方程；并说出；若不存在，请说明理由.

过抛物线 $x^2=2py(p>0)$的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于 $A,B$两点， $A,B$在 $x$轴上的正射影分别为 $D,C$．若梯形 $ABCD$的面积为 $12\sqrt{2}$，则 $P=$．

为了考察冰川的融化状况,一支科考队在某冰川上相距8 $km$ 的 $A,B$ 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形,以过 $A,B$ 两点的直线为 $x$ 轴,线段 $AB$ 的的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系在直线 $x=2$ 的右侧,考察范围为到点 $B$ 的距离不超过 $\frac{6\sqrt{5}}{5}km$ 区域;在直线 $x=2$ 的左侧,考察范围为到 $A,B$ 两点的距离之和不超过 $4\sqrt{5}km$ 区域.

（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图所示,设线段 $P_1{P}_2,P_2{P}_3$ 是冰川的部分边界线(不考虑其他边界线),当冰川融化时,边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动,第一年移动0.2 $km$ ,以后每年移动的距离为前一年的2倍,求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.

一条双曲线 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$的左、右顶点分别为 $A_1,A_2$，点 $P(x_1,y_1),Q(x_1,-y_1)$是双曲线上不同的两个动点.
（1）求直线 $A_{1}P$与 $A_{2}Q$交点的轨迹 $E$的方程式；
（2）若过点 $H(0,h)(h>1)$的两条直线 $l_1$和 $l_2$与轨迹 $E$都只有一个交点，且 $l_1\perp l_2$_,求 $h$的值.

以抛物线 $y^2=4x$的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为

若点 $O$和点 $F$（-2，0）分别为双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1,(a>0)$的中心和左焦点，点 $P$为双曲线右支上的任意一点，则 $\stackrel{\to }{OP}·\stackrel{\to }{FP}$的取值范围为

已知中心在坐标原点 $O$的椭圆 $C$经过点 $A(2,3)$，且点 $F(2,0)$为其右焦点。
（Ⅰ）求椭圆 $C$的方程；

（Ⅱ）是否存在平行于 $OA$的直线 $L$，使得直线 $L$与椭圆 $C$有公共点，且直线 $OA$与 $L$的距离等于4？若存在，求出直线 $L$的方程；若不存在，说明理由。

已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为2，焦点与椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为；渐近线方程为.

在平面直角坐标系 $xOy$中，点 $B$与点 $A(-1,1)$关于原点 $O$对称， $P$是动点，且直线 $AP$与 $BP$的斜率之积等于 $-\frac{1}{3}$.
(Ⅰ)求动点 $P$的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线 $AP$和 $BP$分别与直线 $x=3$交于点 $M,N$，问：是否存在点 $P$使得 $△PAB$与 $△PMN$的面积相等？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，说明理由.

已知双曲线 $E$的中心为原点， $P(3,0)$是 $E$的焦点，过 $F$的直线 $l$与 $E$相交于 $A$， $B$两点，且 $AB$的中点为 $N(-12,-15)$,则 $E$的方程式为（   ）.

设 $F_1,F_2$分别是椭圆 的左、右焦点，过 $F_1$斜率为1的直线 $l$与 $E$相交于 $A,B$两点，且 $$ $\left|A{F}_2\right|$

已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$的一条渐近线方程是$y=\sqrt{3}x$,它的一个焦点在抛物线$y^2=24x$的准线上，则双曲线的方程为（）

A．	$\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{108}=1$	B．	$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{27}=1$
C．	$\frac{x^2}{108}-\frac{y^2}{36}=1$	D．	$\frac{x^2}{27}-\frac{y^2}{9}=1$

已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$的离心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线$l$与椭圆相交于不同的两点$A,B$，已知点$A$的坐标为$\left(-a,0\right)$，点$Q\left(0,y_0\right)$在线段$AB$的垂直平分线上，且$\underset{QA}{\to }.\underset{QB}{\to }=4$，求$y_0$的值

设抛物线 $y^2=8x$的焦点为 $F$，准线为l, $P$为抛物线上一点, $PA\perp 1$, $A$为垂足．如果直线 $AF$的斜率为 $-\sqrt{3}$,那么 $\left|PF\right|=$(  )

设双曲线的-个焦点为 $F$；虚轴的-个端点为 $B$，如果直线 $FB$与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

设椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左焦点为$F$，过点$F$的直线与椭圆$C$相交于$A,B$两点，直线$l$的倾斜角为60^o,$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$

(I)求椭圆$C$的离心率；
(II)如果$\left|AB\right|=\frac{15}{4}$，求椭圆$C$的方程.

设$F_1,F_2$分别为双曲线$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点$P$，满足$\left|P{F}_1\right|=\left|F_1{F}_2\right|$，且$F_2$到直线$P{F}_1$的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）

设抛物线 $y^2=2px\left(p>0\right)$的焦点为 $F$，点 $A\left(0,2\right)$.若线段 $FA$的中点 $B$在抛物线上，则 $B$到该抛物线准线的距离为。

已知 $m>1$ ，直线 $l:x-my-\frac{m^2}{2}=0$ ，椭圆 $C:\frac{x^2}{m^2}+y^2=1$ ， $F_1{F}_2$ 分别为椭圆 $C$ 的左、右焦点.
（Ⅰ）当直线 $l$ 过右焦点 $F_2$ 时，求直线 $l$ 的方程；
（Ⅱ）设直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点， $△A{F}_1{F}_2$ ， $△B{F}_1{F}_2$ 的重心分别为 $G,H$ .若原点 $O$ 在以线段 $GH$ 为直径的圆内，求实数 $m$ 的取值范围.

点$A(x_0,y_0)$在双曲线$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{32}=1$的右支上，若点$A$到右焦点的距离等于$2x_0$，则$x_0=$.

设椭圆 $C_1$ ： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ ，抛物线 $C_2$ ： $x^2+by=b^2$ .

(1) 若 $C_2$ 经过 $C_1$ 的两个焦点，求 $C_1$ 的离心率；
(2) 设 $A(0,b),Q(3\sqrt{3},\frac{5}{4}b)$ ，又 $M,N$ 为 $C_1$ 与 $C_2$ 不在 $y$ 轴上的两个交点，若 $△AMN$ 的垂心为 $B(0,\frac{3}{4}b)$ ，且 $△QMN$ 的重心在 $C_2$ 上，求椭圆 $C_1$ 和抛物线 $C_2$ 的方程．

已知以$F$为焦点的抛物线$y^2=4x$上的两点$A$、$B$满足$\stackrel{\rightharpoonup }{AF}=3\stackrel{\rightharpoonup }{FB}$,则弦$AB$的中点到准线的距离为.

已知以原点 $O$ 为中心， $F(\sqrt{5},0)$ 为右焦点的双曲线 $C$ 的离心率 $e=\frac{\sqrt{5}}{2}$ .
（I）求双曲线 $C$ 的标准方程及其渐近线方程；
（II）如题图，已知过点 $M(x_1,y_1)$ 的直线 $l_1:x_{1}x+4y_{1}y=4$ 与过点 $N(x_2,y_2)$ （其中 $x_2\ne x$ ）的直线 $l_2:x_{2}x+4y_{2}y=4$ 的交点 $E$ 在双曲线 $C$ 上，直线 $MN$ 与两条渐近线分别交与 $G,H$ 两点，求 $△OGH$ 的面积.

已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，过右焦点$F$且斜率为$k(k>0)$的直线与$C$相交于$A$、$B$两点．若$\stackrel{\rightharpoonup }{AF}=3\stackrel{\rightharpoonup }{FB}$，则$k=$

已知抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$的准线为 $l$，过 $M(1,0)$且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与 $l$相交于点 $A$，与 $C$的一个交点为 $B$．若 $\stackrel{\to }{AM}=\stackrel{\to }{MB}$，则 $P=$．

己知斜率为1的直线$l$与双曲线$C$：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>0,b>0\right)$相交于$B$、$D$两点，且$BD$的中点为$M\left(1,3\right)$．
（Ⅰ）求$C$的离心率；
（Ⅱ）设$C$的右顶点为$A$，右焦点为$F$，$\left|DF\right|\left|BF\right|=17$，证明：过$A,B,D$三点的圆与$x$轴相切．

已知一条曲线 $C$在 $y$轴右边， $C$上每一点到点 $F\left(1,0\right)$的距离减去它到 $y$轴距离的差都是 $1$.

（1）求曲线 $C$的方程.
（2）是否存在正数 $m$，对于过点 $M\left(m,0\right)$且与曲线 $C$有两个交点 $A,B$的任一直线，都有 $\stackrel{\rightharpoonup }{FA}·\stackrel{\rightharpoonup }{FB}<0$?若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.

已知定点 $A\left(-1,0\right),F\left(2,0\right)$,定直线 $l$: $x=\frac{1}{2}$,不在 $x$轴上动点 $P$与点 $F$的距离是它到直线 $l$的距离的2倍.设点 $P$的轨迹为 $E$,过点 $F$的直线交 $E$于 $B、C$两点,直线 $AB、AC$分别交 $l$于点 $M、N$

（Ⅰ）求 $E$的方程；
（Ⅱ）试判断以线段 $MN$为直径的圆是否过点 $F$,并说明理由.

半径为 $R$的球 $O$的直径 $AB$垂直于平面 $\alpha$，垂足为 $B$， $△BCD$是平面 $\alpha$内边长为 $R$的正三角形，线段 $AC,AD$分别与球面交于点 $M,N$，那么 $M,N$两点间的球面距离是

已知 $F_1$、 $F_2$为双曲线 $C$： $x^2-y^2=1$的左、右焦点，点 $P$在 $C$上， $\angle F_{1}P{F}_2=60°$，则 $P$到 $x$轴的距离为（）

已知 $F$是椭圆 $C$的一个焦点， $B$是短轴的一个端点，线段 $BF$的延长线交 $C$于点 $D$，且 $\stackrel{\rightharpoonup }{BF}=2\stackrel{\rightharpoonup }{FD}$，则 $C$的离心率为.

已知抛物线 $C:y^2=4x$的焦点为 $F$，过点 $K\left(-1,0\right)$的直线 $l$与相交于 $A$、 $B$两点，点 $A$关于 $x$轴的对称点为D .
（Ⅰ）证明：点 $F$在直线 $BD$上；
（Ⅱ）设 $\stackrel{\rightharpoonup }{FA}·\stackrel{\rightharpoonup }{FB}=\frac{8}{9}$，求 $△BDK$的内切圆 $M$的方程 .