已知中心在坐标原点 $O$的椭圆 $C$经过点 $A(2,3)$，且点 $F(2,0)$为其右焦点。
（Ⅰ）求椭圆 $C$的方程；

（Ⅱ）是否存在平行于 $OA$的直线 $L$，使得直线 $L$与椭圆 $C$有公共点，且直线 $OA$与 $L$的距离等于4？若存在，求出直线 $L$的方程；若不存在，说明理由。