已知定点 $A\left(-1,0\right),F\left(2,0\right)$,定直线 $l$: $x=\frac{1}{2}$,不在 $x$轴上动点 $P$与点 $F$的距离是它到直线 $l$的距离的2倍.设点 $P$的轨迹为 $E$,过点 $F$的直线交 $E$于 $B、C$两点,直线 $AB、AC$分别交 $l$于点 $M、N$

（Ⅰ）求 $E$的方程；
（Ⅱ）试判断以线段 $MN$为直径的圆是否过点 $F$,并说明理由.