如图，椭圆C:x2a2y2b21的顶点为A1,A2,B1,B

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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如图，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的顶点为 $A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}$ ，焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ， $| A_{1} B_{1} | = \sqrt{7}$ , $S_{▱ B_{1} A_{1} B_{2} A_{2}} = 2 S_{▱ B_{1} F_{1} B_{2} F_{2}}$ .

(Ⅰ)求椭圆 $C$ 的方程；

(Ⅱ)设 $n$ 为过原点的直线， $l$ 是与 $n$ 垂直相交于 $P$ 点，与椭圆相交于 $A$ , $B$ 两点的直线， $| \overset{⇀}{O P} | = 1$ .是否存在上述直线 $l$ 使 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = 0$ 成立？若存在，求出直线 $l$ 的方程；并说出；若不存在，请说明理由.

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（本小题满分10分）
已知海岛B在海岛A的北偏东45°方向上，A、B相距10海里，小船甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船乙从海岛A出发沿北偏15°方向也以2海里/小时的速度移动。
（Ⅰ）经过1小时后，甲、乙两小船相距多少海里？
（Ⅱ）在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由。