如图,已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的离心率为 2 2 ,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F 1 , F 2 为顶点的三角形的周长为 4 2 + 1 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 P F 1 和 P F 2 与椭圆的交点分别为 A , B 和 C , D .
(Ⅰ)求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ)设直线 P F 1 、 P F 2 的斜率分别为 k 1 、 k 2 ,证明 k 1 k 2 = 1 ; (Ⅲ)是否存在常数 λ ,使得 A B + C D = λ A B · C D 恒成立?若存在,求 λ 的值;若不存在,请说明理由.
如图,中,是的中点,,.将沿折起,使点与图中点重合.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)当三棱锥的体积取最大时,求二面角的余弦值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试问在线段上是否存在一点,使与平面所成的角的正弦值为?证明你的结论.
已知函数,其中(Ⅰ)求函数的定义域;(Ⅱ)若对任意恒有,试确定的取值范围.
设函数(Ⅰ)当时,求的值域;(Ⅱ)已知中,角的对边分别为,若,,求面积的最大值.
(本小题满分14分)(1)若是的一个极值点,求的单调区间;(2)证明:若;(3)证明:若.
(本小题满分13分)已知为椭圆的左,右焦点,为椭圆上的动点,且的最大值为1,最小值为-2.(1)求椭圆的方程;(2)过点作不与y轴垂直的直线交该椭圆于两点, A为椭圆的左顶点.试判断是否为直角,并说明理由.