初中数学解答题

重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎.某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）.已知 $3$份“堂食”小面和 $2$份“生食”小面的总售价为 $31$元， $4$份“堂食”小面和 $1$份“生食”小面的总售价为 $33$元.

（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元?

（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面 $4500$份，“生食”小面 $2500$份.为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低 $\frac{3}{4}a\%$.统计5月的销量和销售额发现:“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加了 $\frac{5}{2}a\%$，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加了 $\frac{5}{11}a\%$.求 $a$的值.

在四边形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AB},\mathit{CD}$交于点 $O,S_{\mathit{AOB}}=4,S_{\mathit{COD}}=9$，求四边形 $\mathit{ABCD}$面积的最小值.

已知 $a,b,c$三数满足方程组 $\left\{\begin{array}{c}a+b=8,\\ \mathit{ab}-c^2+8\sqrt{2}c=48,\end{array}\right.$试求方程 $b{x}^2+\mathit{cx}-a=0$的根.

已知关于 $x$的方程 $\left(m^2-1\right)x^2-3(3m-1)x+18=0$有两个正整数根（ $m$是整数）. $\Delta ABC$的三边 $a,b$、 $c$满足 $c=2\sqrt{3},m^2+a^{2}m-8a=0,m^2+b^{2}m-8b=0$.

求:（1） $m$的值；

（2） $\Delta ABC$的面积.

设 $a,b,c,d$为四个不同的实数，若 $a,b$为方程 $x^2-10\mathit{cx}-11d=0$的根， $c,d$为方程 $x^2-10\mathit{ax}-11b=0$的根，求 $a+b+c+d$的值.

若关于 $x$的方程 $x^2-(a-3)x+a-2=0$有两个不相等的整数根，求 $a$的值.

定义:如果一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0)$满足 $a+b+c=0$，那么我们称这个方程为“凤凰方程”，已知 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0(a\ne 0)$是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，求 $a,b,c$之间的关系.

已知关于 $x$的一元二次方程 $x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$.

（1）求证:无论 $k$取何值，方程都有两个不相等的实数根.

（2）如果方程的两个实数根为 $x_1,x_2$，且 $k$与 $\frac{x_1}{x_2}$都为整数，求 $k$所有可能的值.

设 $m$是不小于 $-1$的实数，关于 $x$的方程 $x^2+2(m-2)x+m^2-3m+3=0$有两个不相等的实数根 $x_1,x_2$.

（1）若 $x_1^2+x_2^2=6$，求 $m$的值；

（2）求 $\frac{m{x}_1^2}{1-x_1}+\frac{m{x}_2^2}{1-x_2}$的最大值.

已知关于 $x$的方程 $x^2-(2k-1)x+k^2=0$有两个实根 $x_1,x_2$，且满足 $x_1{x}_2-\left|x_1\right|-\left|x_2\right|=2$，求实数 $k$的值；

在平面直角坐标系 $xOy$中，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+bx+c$过点 $A（﹣2，﹣1），B（0，﹣3）$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移抛物线，平移后的顶点为 $P（m，n）（m＞0）$．

ⅰ．如果 $S_{△OBP}＝3$，设直线 $x＝k$，在这条直线的右侧原抛物线和新抛物线均呈上升趋势，求k的取值范围；

ⅱ．点 $P$在原抛物线上，新抛物线交 $y$轴于点 $Q$，且 $\angle BPQ＝120°$，求点 $P$的坐标．

如图所示，在等腰三角形 $ABC$中， $AB＝AC$，点 $E，F$在线段 $BC$上，点 $Q$在线段 $AB$上，且 $CF＝BE，A{E}^2＝AQ•AB$．

求证：（1） $\angle CAE＝\angle BAF$；

（2） $CF•FQ＝AF•BQ$．

我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆 $AB$的长．

（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆 $AB$底部 $a$米的点 $D$处，测角仪高为 $b$米，从 $C$点测得 $A$点的仰角为 $\alpha$，求灯杆 $AB$的高度．（用含 $a，b，\alpha$的代数式表示）

（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义．如图（2）所示，现将一高度为 $2$米的木杆 $CG$放在灯杆 $AB$前，测得其影长 $CH$为 $1$米，再将木杆沿着 $BC$方向移动 $1.8$米至 $DE$的位置，此时测得其影长 $DF$为 $3$米，求灯杆 $AB$的高度．

一个一次函数的截距为 $﹣1$，且经过点 $A（2，3）$．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）点 $A，B$在某个反比例函数上，点 $B$横坐标为 $6$，将点 $B$向上平移 $2$个单位得到点 $C$，求 $\cos \angle ABC$的值．

解关于 $x$的不等式组： $\left\{\begin{array}{c}3\mathrm{x}\mathrm{＞}\mathrm{x}-4\\ \frac{4+\mathrm{x}}{3}\mathrm{＞}\mathrm{x}+2\end{array}\right.$．